Démontrer que deux triangles sont semblables par les angles
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Pour démontrer que deux triangles sont semblables en utilisant leurs angles :
- Identifier les angles connus dans chaque triangle (angles donnés, angles communs, angles droits, angles correspondants...).
- Trouver deux paires d'angles égaux entre les deux triangles.
- Conclure : les deux triangles ont deux paires d'angles de même mesure, donc ils sont semblables (1er cas de similitude).
Angles donnés
Dans un triangle $ABC$, on sait que $\widehat{A} = 35°$ et $\widehat{B} = 75°$.
Dans un triangle $DEF$, on sait que $\widehat{D} = 70°$ et $\widehat{F} = 75°$.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont-ils semblables ?
Étape 1 : On calcule les angles manquants :
$\widehat{C} = 180° - 35° - 75° = 70°$
$\widehat{E} = 180° - 70° - 75° = 35°$
Étape 2 : On cherche deux paires d'angles égaux :
$\widehat{A} = \widehat{E} = 35°$
$\widehat{B} = \widehat{F} = 75°$
Étape 3 : Les triangles $ABC$ et $DEF$ ont deux paires d'angles de même mesure, donc ils sont semblables.
Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow D$.
Angle commun et droites parallèles
On considère un triangle $ABC$. Les points $M$ et $N$ sont placés respectivement sur $[AB]$ et $[AC]$, avec $(MN) /\!/ (BC)$.
Démontrer que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.
Étape 1 : On identifie les angles :
Les triangles $AMN$ et $ABC$ ont l'angle $\widehat{A}$ en commun.
Comme $(MN) /\!/ (BC)$, les angles $\widehat{AMN}$ et $\widehat{ABC}$ sont correspondants, donc égaux.
Étape 2 : On a deux paires d'angles égaux :
$\widehat{A} = \widehat{A}$ (angle commun)
$\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$ (angles correspondants)
Étape 3 : Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.
C'est une configuration de Thalès : les sommets homologues sont $A \leftrightarrow A$, $M \leftrightarrow B$, $N \leftrightarrow C$.
Remarque
Les situations les plus fréquentes pour trouver des angles égaux :
- Un angle commun aux deux triangles.
- Un angle droit dans chaque triangle.
- Des angles correspondants ou alternes-internes formés par des droites parallèles.
Attention
Ne pas confondre l'ordre des sommets. Il faut bien identifier les sommets homologues (ceux qui portent les angles égaux) pour pouvoir écrire correctement les rapports de côtés par la suite.