Triangles semblables
Exercices
Longueur inconnue dans une configuration de Thalès
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Dans un triangle $ABC$, on a $AB = 10$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 12$ cm. Le point $M$ est sur le segment $[AB]$ tel que $AM = 4$ cm. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$.
- Démontrer que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.
- Calculer le coefficient de similitude.
- En déduire les longueurs $MN$ et $AN$.
Corrigé
- Les triangles $AMN$ et $ABC$ partagent l'angle commun $\widehat{A}$.
Comme $(MN) \parallel (BC)$ et $(AB)$ est une sécante, les angles correspondants sont égaux :
$\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$
Les triangles $AMN$ et $ABC$ ont deux angles de même mesure, ils sont donc semblables.
(On reconnait ici une configuration de Thalès : $(MN) \parallel (BC)$ dans le triangle $ABC$.)
Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow A$, $M \leftrightarrow B$ et $N \leftrightarrow C$. - Le coefficient de similitude est :
$k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ On en déduit les longueurs :
$MN = k \times BC = \dfrac{2}{5} \times 12 = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$ cm
$AN = k \times AC = \dfrac{2}{5} \times 8 = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$ cm$MN = 4{,}8$ cm et $AN = 3{,}2$ cm
Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables