Triangles semblables dans un rectangle

1. L'angle $\widehat{ABM}$ est un angle droit (angle du rectangle en $B$).
   Les droites $(DC)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires (côtés du rectangle), donc l'angle $\widehat{ECM} = 90°$.
   De plus, les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{EMC}$ sont opposés par le sommet, donc de même mesure.
   Les triangles $ABM$ et $ECM$ ont deux angles de même mesure : ils sont semblables.
   Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow C$ et $M \leftrightarrow M$.
2. On calcule d'abord $CM$ :
   $CM = BC - BM = 10 - 4 = 6$ cm
   Le coefficient de similitude est :
   $k = \dfrac{CM}{BM} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

3. On en déduit la longueur $EC$ :
   $EC = k \times AB = \dfrac{3}{2} \times 6$

   $EC = 9$ cm

4. Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude :
   $\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$

   $\mathbf{\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)} = \dfrac{9}{4}}$

Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont semblables par les angles