Démontrer la convergence d’une suite et trouver sa limite

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n} + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Étape 1 — Montrer que $1 \leqslant u_{n} \leqslant 3$ pour tout $n$ (récurrence)

Initialisation : $u_{0} = 1$, donc $1 \leqslant 1 \leqslant 3$. Vrai.

Hérédité : on suppose $1 \leqslant u_{n} \leqslant 3$.
$2 \leqslant 2u_{n} \leqslant 6$, donc $5 \leqslant 2u_{n} + 3 \leqslant 9$.
En prenant la racine : $\sqrt{5} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$.
Or $\sqrt{5} \geqslant 1$, donc $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$. Vrai.

Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $1 \leqslant u_{n} \leqslant 3$. La suite est majorée par $3$.

Étape 2 — Montrer que $(u_{n})$ est croissante

$u_{n+1} - u_{n} = \sqrt{2u_{n} + 3} - u_{n}$

Étudions le signe : $u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0 \iff \sqrt{2u_{n} + 3} \geqslant u_{n}$.

Comme $u_{n} \geqslant 0$, cela équivaut (en élevant au carré) à :
$2u_{n} + 3 \geqslant u_{n}^{2} \iff u_{n}^{2} - 2u_{n} - 3 \leqslant 0 \iff (u_{n} - 3)(u_{n} + 1) \leqslant 0$

Or $1 \leqslant u_{n} \leqslant 3$, donc $u_{n} - 3 \leqslant 0$ et $u_{n} + 1 > 0$, ce qui donne bien $(u_{n} - 3)(u_{n} + 1) \leqslant 0$.

La suite $(u_{n})$ est croissante.

Étape 3 — Conclure sur la convergence

$(u_{n})$ est croissante et majorée par $3$, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $l$.

Étape 4 — Déterminer la limite

En passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n} + 3}$ :
$l = \sqrt{2l + 3}$

On élève au carré (avec $l \geqslant 0$) :
$l^{2} = 2l + 3$
$l^{2} - 2l - 3 = 0$
$(l - 3)(l + 1) = 0$

Donc $l = 3$ ou $l = -1$. Comme $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n$, on a $l \geqslant 1$.