Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables
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Pour calculer une longueur inconnue à l'aide de deux triangles semblables :
- Justifier la similitude des deux triangles (par les angles ou les longueurs).
- Identifier les sommets homologues et en déduire les côtés homologues.
- Calculer le coefficient de similitude $k$ avec une paire de côtés homologues connus.
- Déduire la longueur inconnue par proportionnalité.
Longueur dans une configuration de Thalès
Dans un triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$, avec $(MN) /\!/ (BC)$.
On donne $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm et $BC = 8$ cm.
Calculer $MN$.
Étape 1 : Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables (configuration de Thalès : angle commun $\widehat{A}$ et droites parallèles).
Étape 2 : Les sommets homologues sont $A \leftrightarrow A$, $M \leftrightarrow B$, $N \leftrightarrow C$.
Donc $[MN]$ est homologue à $[BC]$ et $[AM]$ est homologue à $[AB]$.
Étape 3 : On calcule le coefficient de similitude :
Étape 4 : On en déduit $MN$ :
$MN = k \times BC = 0{,}6 \times 8 = 4{,}8$ cm
Hauteur d'un arbre (ombre portée)
Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on plante un bâton de $1{,}2$ m verticalement dans le sol. Le bâton projette une ombre de $0{,}8$ m et l'arbre projette une ombre de $6$ m.
Calculer la hauteur de l'arbre.
Étape 1 : Les rayons du soleil sont parallèles. Le bâton et l'arbre sont verticaux. On obtient deux triangles rectangles semblables (angle droit au sol et même angle formé par les rayons du soleil).
Étape 2 : Les côtés homologues sont :
la hauteur du bâton correspond à la hauteur de l'arbre,
l'ombre du bâton correspond à l'ombre de l'arbre.
Étape 3 : Le coefficient de similitude est :
Étape 4 : La hauteur de l'arbre est :
$h = k \times 1{,}2 = 7{,}5 \times 1{,}2 = 9$ m
Remarque
On peut aussi utiliser directement l'égalité des rapports sans calculer $k$ :
ce qui donne $MN = BC \times \dfrac{AM}{AB}$.
Attention
L'erreur la plus fréquente est de mal identifier les côtés homologues. Toujours vérifier que les sommets homologues correspondent bien aux angles égaux.