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Triangles semblables Exercices

Rapport des aires de triangles semblables

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
On donne $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, $AC = 10$ cm et $DE = 9$ cm.

Deux triangles rectangles semblables : ABC (petit, rectangle en B) et DEF (grand, rectangle en E)
  1. Vérifier que le triangle $ABC$ est rectangle. Préciser en quel sommet.
  2. Calculer le coefficient de similitude pour passer de $ABC$ à $DEF$.
  3. En déduire les longueurs $EF$ et $DF$.
  4. Calculer l'aire du triangle $ABC$, puis en déduire l'aire du triangle $DEF$.

Corrigé

  1. On vérifie si l'égalité de Pythagore est satisfaite. Le plus grand côté est $AC = 10$.
    $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
    $AC^2 = 10^2 = 100$
    On a bien $AB^2 + BC^2 = AC^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
  2. Les côtés homologues sont : $[AB]$ et $[DE]$, $[BC]$ et $[EF]$, $[AC]$ et $[DF]$.
    Le coefficient de similitude est :
    $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$
  3. On calcule les longueurs manquantes :
    $EF = k \times BC = 1{,}5 \times 8$ = $12$ cm
    $DF = k \times AC = 1{,}5 \times 10$ = $15$ cm

  4. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc :
    $\text{Aire}(ABC) = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm²
    Le rapport des aires de deux triangles semblables est $k^2$, donc :
    $\text{Aire}(DEF) = k^2 \times \text{Aire}(ABC) = (1{,}5)^2 \times 24 = 2{,}25 \times 24$

    $\text{Aire}(DEF) = 54$ cm²

Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables