Calculer et interpréter l’espérance d’une loi binomiale
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Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $ \mathcal{B}(n;p) $. Son espérance est :
Pour calculer et interpréter $ E(X) $ dans un problème :
- Étape 1 : justifier que $ X $ suit la loi $ \mathcal{B}(n;p) $ et identifier $ n $ et $ p $.
- Étape 2 : appliquer la formule $ E(X)=n\,p $ et effectuer le calcul.
- Étape 3 : interpréter la valeur obtenue : $ E(X) $ est le nombre moyen de succès attendu si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.
Remarque
L'espérance d'une loi binomiale n'est pas toujours un entier (par exemple $ E(X)=1{,}2 $). Elle représente une moyenne théorique : la variable $ X $, elle, ne prend que des valeurs entières. On peut éventuellement arrondir pour donner une estimation pratique (« on attend en moyenne entre $ 1 $ et $ 2 $ succès »).
Calcul direct de l'espérance
On lance $ 50 $ fois un dé équilibré à six faces. Soit $ X $ le nombre de fois où l'on obtient un $ 6 $. Calculer et interpréter $ E(X) $.
Étape 1 : chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec $ p=\dfrac{1}{6} $. Les lancers sont indépendants et identiques, donc $ X $ suit la loi $ \mathcal{B}\left(50\,;\,\dfrac{1}{6}\right) $.
Étape 2 : application de la formule :
Étape 3 : en moyenne, sur $ 50 $ lancers, on obtient environ $ 8{,}3 $ fois la face $ 6 $. Si l'expérience est répétée un grand nombre de fois, le nombre moyen de $ 6 $ par série de $ 50 $ lancers se rapproche de $ \dfrac{25}{3} $.
Espérance dans un problème de gain
Un jeu consiste à lancer $ 4 $ fois une pièce équilibrée. À chaque Pile, le joueur gagne $ 3 $ €. Quel est le gain moyen attendu ?
Étape 1 : soit $ X $ le nombre de Pile obtenus. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec $ p=0{,}5 $, et les lancers sont indépendants. Donc $ X $ suit la loi $ \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5) $.
Étape 2 : le gain $ G $ vaut $ G=3X $. L'espérance du gain est :
Étape 3 :
En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne $ 6 $ € par partie.
Calibrer un paramètre à partir de l'espérance
Une entreprise prélève chaque jour $ n $ articles dans sa production pour un contrôle qualité. La proportion d'articles défectueux est $ p=0{,}02 $. Combien d'articles faut-il prélever en moyenne pour s'attendre à $ 5 $ articles défectueux par contrôle ?
Étape 1 : soit $ X $ le nombre d'articles défectueux dans le prélèvement. La production étant très grande, $ X $ peut être modélisée par la loi $ \mathcal{B}(n\,;\,0{,}02) $.
Étape 2 : on cherche $ n $ tel que $ E(X)=5 $ :
D'où :
Étape 3 :
Il faut prélever $ 250 $ articles par contrôle pour s'attendre, en moyenne, à $ 5 $ défectueux.
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre $ E(X) $ et la valeur la plus probable de $ X $ : ce sont en général deux choses différentes.
- Oublier la linéarité : si $ G=aX+b $, alors $ E(G)=a\,E(X)+b $.
- Donner $ E(X) $ comme un nombre entier alors que $ n\,p $ ne l'est pas : conserver la valeur exacte ou un arrondi clairement indiqué.