Solution rédigée par Edav

1. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

   Ici, $(D)$ et $(D^{\prime})$ ont des coefficients directeurs $a$ et $a^{\prime}$ différents, donc les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont sécantes.

2. Remarque préalable : Le point $A(\alpha ; \beta)$ appartient à $(D)$ et à $(D^{\prime})$, par conséquent, ses coordonnées vérifient les équations de $(D)$ et de $(D^{\prime})$ c'est à dire :

   $\beta = a \alpha + b$

   $\beta = a^{\prime} \alpha + b^{\prime}$

   Notons $(x_M~;~y_M)$ les coordonnées de M. Comme $M$ appartient à $(D)$ :

   $y_M = a x_M + b$

   Or, d'après l'énoncé $x_M = \alpha + 1$, donc :

   $y_M = a ( \alpha + 1 ) + b$$= a \alpha + a + b$$= \beta + a$

   puisque d'après la remarque préalable $\beta = a \alpha + b$.

3. Un calcul analogue à celui de la question 2. conduit à :

   $y_{M^{\prime}} = \beta + a^{\prime}$

4. On utilise la formule : $AM = \sqrt{ (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 }$

   $AM =$$\sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha)^2 + (\beta + a - \beta )^2 }$$= \sqrt{ 1 + a^2 }$

   $AM^{\prime} =$ $\sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha)^2 + (\beta + a^{\prime} - \beta )^2 }$$= \sqrt{ 1 + {a ^{\prime}} ^2 }$

   $MM^{\prime} =$ $\sqrt{ (\alpha + 1 - \alpha - 1)^2 + (\beta + a - \beta - a^{\prime} )^2 }$$= \sqrt{ (a - {a ^{\prime}}) ^2 }$

5. Les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont perpendiculaires si et seulement si le triangle $AMM^{\prime}$ est rectangle en $A$ c'est à dire, d'après le théorème de Pythagore et sa réciproque si et seulement si :

   ${MM^{\prime}}^2 = {AM}^2 + {AM^{\prime}}^2$

   $\Leftrightarrow (a - a^{\prime})^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2$

   $\Leftrightarrow a^2 - 2aa^{\prime}+ {a^{\prime}}^2 = 1+a^2 + 1+ {a^{\prime}}^2$

   $\Leftrightarrow - 2aa^{\prime} = 2$

   $\Leftrightarrow aa^{\prime} = - 1$

   Les droites $(D)$ et $(D^{\prime})$ sont perpendiculaires si et seulement si $aa^{\prime} = - 1$.