Exercice 1

Commun à tous les candidats

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$, on donne les trois points :

A(1;2;-1), B(-3;-2;3) et C(0;-2;-3)

1. 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$(2;-1;1) est un vecteur normal au plan (ABC).

2. Soit (P) le plan dont une équation cartésienne est $x+y - z+2=0$.
   Démontrer que les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, -1) et (C, 2).

   1. Démontrer que le point G a pour coordonnées $\left(2;0; - 5\right)$.

   2. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P).

   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

   4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l'ensemble (S) des points M de l'espace tels que $||\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=12$ est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection du plan (P) et de la sphère (S).