Exercice 3 - 6 points

Commun à tous les candidats

La courbe $(\mathscr{C})$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[ - 4~;~3]$. Les points $A$ d'abscisse $- 3$ et $B(0~;~2)$ sont sur la courbe $(\mathscr{C})$.

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(\mathscr{C})$ respectivement aux points $A$ et $B$, la tangente au point $A$ étant horizontale. On note $f^\prime$ la fonction dérivée de $f$.

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

1. Par lecture graphique, déterminer :

   1. $f^\prime( - 3)$ ;

   2. $f(0)$ et $f^\prime(0)$.

2. La fonction $f$ est définie sur $[ - 4~;~3]$ par

   $f(x) = a+(x+b)e^{ - x}$

   où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie.

   1. Calculer $f^\prime(x)$ pour tout réel $x$ de $[ - 4~;~3]$.

   2. À l'aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système suivant :

      $\begin{cases} a+b=2 \\ 1 - b = - 3 \end{cases}$

   3. Déterminer alors les valeurs des nombres $a$ et $b$.

PARTIE B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[ - 4~;~3]$ par

1. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[ - 4~;~3]$, $f^\prime(x) = ( - x - 3)e^{ - x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[ - 4~;~3]$.

2. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[ - 3~;~3]$, puis

   donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près par défaut.

3. On souhaite calculer l'aire $S$, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe

   $(\mathscr{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$.

   1. Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale.

   2. Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous :

      1.	$F(x) := - 2x+( - x - 5)*\text{exp}( - x)$
      	$\qquad \qquad$ // Interprète $F$
      	$\qquad \qquad$ // Succès lors de la compilation $F$
      	$\qquad \qquad$ $x \mapsto - 2*x+( - x - 5)* \text{exp}( - x)$
      2.	derive $(F (x))$
      	$\qquad \qquad$ $- \text{exp}( - x) - \text{exp}( - x)*( - x - 5) - 2$
      3.	simplifier$( - \text{exp}( - x) - \text{exp}( - x)*( - x - 5) - 2)$
      	$\qquad \qquad$ $x*\text{exp}( - x)+4 *\text{exp}( - x) - 2$

      À l'aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l'aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième.