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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[Bac] Exponentielle - Limites - Tangente

Extrait d'un exercice du Bac S Polynésie 2014. Le sujet complet (qui nécessite l'étude du chapitre Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Polynésie 2014 Soient [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] les fonctions définies sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]f\left(x\right)=e^{x}[/latex]   et   [latex]g\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-1.[/latex] On note [latex]\mathscr C_{f}[/latex] et [latex]\mathscr C_{g}[/latex] les courbes représentatives des fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] dans un repère orthogonal.
  1. Démontrer que les courbes [latex]\mathscr C_{f}[/latex] et [latex]\mathscr C_{g}[/latex] ont un point commun d'abscisse [latex]0[/latex] et qu'en ce point, elles ont la même tangente [latex]\Delta [/latex] dont on déterminera une équation.
  2. Étude de la position relative de la courbe [latex]\mathscr C_{g}[/latex] et de la droite [latex]\Delta [/latex] Soit [latex]h[/latex] la fonction définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]h\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-x-2[/latex].
    1. Déterminer la limite de la fonction [latex]h[/latex] en [latex]-\infty [/latex].
    2. Justifier que, pour tout réel [latex]x, h\left(x\right)=x \left(\frac{e^{^{\frac{x}{2}}}}{^{\frac{x}{2}}}-1-\frac{2}{x}\right)[/latex]. En déduire la limite de la fonction [latex]h[/latex] en [latex]+\infty [/latex].
    3. On note [latex]h^{\prime}[/latex] la fonction dérivée de la fonction [latex]h[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex]. Pour tout réel [latex]x[/latex], calculer [latex]h^{\prime}\left(x\right)[/latex] et étudier le signe de [latex]h^{\prime}\left(x\right)[/latex] suivant les valeurs de [latex]x[/latex].
    4. Dresser le tableau de variations de la fonction [latex]h[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex].
    5. En déduire que, pour tout réel [latex]x, 2e^{^{\frac{x}{2}}}-1\geqslant x+1[/latex].
    6. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe [latex]\mathscr C_{g}[/latex] et de la droite [latex]\Delta [/latex] ?
  3. Étude de la position relative des courbes [latex]\mathscr C_{f}[/latex] et [latex]\mathscr C_{g}[/latex]
    1. Pour tout réel [latex]x[/latex], développer l'expression [latex]\left(e^{^{\frac{x}{2}}}-1\right)^{2}[/latex].
    2. Déterminer la position relative des courbes [latex]\mathscr C_{f}[/latex] et [latex]\mathscr C_{g}[/latex].

    Corrigé

    Solution rédigée par Paki [pdf-embedder url="/assets/imgsvg/slides/exponentielle-limites-tangentes/exponentielle-limites-tangentes.pdf" width="676"]