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Fonction exponentielle Exercices

Exponentielle – Tangente commune et position relative

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Soient $ f $ et $ g $ les fonctions définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{x} $ et $ g\left(x\right)=2\text{e}^{x/2}-1 $. On note $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ les courbes représentatives des fonctions $ f $ et $ g $ dans un repère orthogonal.

Partie A — Tangente commune

  1. Démontrer que les courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ ont un point commun d'abscisse $ 0 $.
  2. Déterminer une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $, puis une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{g} $ au point d'abscisse $ 0 $.
  3. En déduire qu'en ce point, les deux courbes ont la même tangente $ \Delta $.

Partie B — Position relative des courbes

  1. Pour tout réel $ x $, développer l'expression $ \left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2} $.
  2. En déduire la position relative des courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $.

Corrigé

Partie A

  1. On calcule les images de $ 0 $ par $ f $ et par $ g $. On a $ f\left(0\right)=\text{e}^{0}=1 $ et $ g\left(0\right)=2\text{e}^{0}-1=2-1=1 $. Comme $ f\left(0\right)=g\left(0\right)=1 $, les deux courbes passent par le point de coordonnées $ \left(0 ; 1\right) $.

  2. La fonction $ f $ vérifie $ f^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} $, donc $ f^{\prime}\left(0\right)=1 $. Une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ en $ 0 $ est $ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) $, soit $ y=x+1 $.

    La fonction $ g $ est de la forme $ 2\,\text{e}^{ax+b} $ avec $ a=\dfrac{1}{2} $ et $ b=0 $, donc $ g^{\prime}\left(x\right)=2\times \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{x/2}=\text{e}^{x/2} $, d'où $ g^{\prime}\left(0\right)=\text{e}^{0}=1 $. Une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{g} $ en $ 0 $ est $ y=g^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+g\left(0\right) $, soit $ y=x+1 $.

  3. Les deux tangentes ont la même équation $ y=x+1 $. Les courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ ont donc la même tangente $ \Delta : y=x+1 $ au point $ \left(0 ; 1\right) $.

Partie B

  1. En appliquant l'identité remarquable $ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $ avec $ a=\text{e}^{x/2} $ et $ b=1 $, et en utilisant $ \left(\text{e}^{x/2}\right)^{2}=\text{e}^{x} $, on obtient :

    $ \left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2}=\text{e}^{x}-2\text{e}^{x/2}+1 $

  2. On étudie le signe de la différence $ f\left(x\right)-g\left(x\right) $ :

    $ f\left(x\right)-g\left(x\right)=\text{e}^{x}-\left(2\text{e}^{x/2}-1\right)=\text{e}^{x}-2\text{e}^{x/2}+1 $

    D'après la question précédente, $ f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2} $. Un carré est toujours positif ou nul, donc $ f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant 0 $ pour tout réel $ x $. La courbe $ \mathscr{C}_{f} $ est donc au-dessus de la courbe $ \mathscr{C}_{g} $ sur $ \mathbb{R} $, les deux courbes se touchant au point $ \left(0 ; 1\right) $ (où la différence s'annule, puisque $ \text{e}^{0}-1=0 $).