[Bac] Exponentielle – Limites – Tangente

Extrait d’un exercice du Bac S Polynésie 2014.
Le sujet complet (qui nécessite l’étude du chapitre Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Polynésie 2014
Soient f et g les fonctions définies sur \mathbb{R} par
f\left(x\right)=e^{x}   et   g\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-1.
On note \mathscr C_{f} et \mathscr C_{g} les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.

1. Démontrer que les courbes \mathscr C_{f} et \mathscr C_{g} ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente \Delta dont on déterminera une équation.
2. Étude de la position relative de la courbe \mathscr C_{g} et de la droite \Delta
   Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-x-2.
   1. Déterminer la limite de la fonction h en -\infty .
   2. Justifier que, pour tout réel x, h\left(x\right)=x \left(\frac{e^{^{\frac{x}{2}}}}{^{\frac{x}{2}}}-1-\frac{2}{x}\right).
      En déduire la limite de la fonction h en +\infty .
   3. On note h^{\prime} la fonction dérivée de la fonction h sur \mathbb{R}.
      Pour tout réel x, calculer h^{\prime}\left(x\right) et étudier le signe de h^{\prime}\left(x\right) suivant les valeurs de x.
   4. Dresser le tableau de variations de la fonction h sur \mathbb{R}.
   5. En déduire que, pour tout réel x, 2e^{^{\frac{x}{2}}}-1\geqslant x+1.
   6. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe \mathscr C_{g} et de la droite \Delta ?
3. Étude de la position relative des courbes \mathscr C_{f} et \mathscr C_{g}
   1. Pour tout réel x, développer l’expression \left(e^{^{\frac{x}{2}}}-1\right)^{2}.
   2. Déterminer la position relative des courbes \mathscr C_{f} et \mathscr C_{g}.

   Corrigé

   Solution rédigée par Paki