[Bac] Exponentielle - Limites - Tangente
- Démontrer que les courbes [latex]\mathscr C_{f}[/latex] et [latex]\mathscr C_{g}[/latex] ont un point commun d'abscisse [latex]0[/latex] et qu'en ce point, elles ont la même tangente [latex]\Delta [/latex] dont on déterminera une équation.
- Étude de la position relative de la courbe [latex]\mathscr C_{g}[/latex] et de la droite [latex]\Delta [/latex]
Soit [latex]h[/latex] la fonction définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]h\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}}-x-2[/latex].
- Déterminer la limite de la fonction [latex]h[/latex] en [latex]-\infty [/latex].
- Justifier que, pour tout réel [latex]x, h\left(x\right)=x \left(\frac{e^{^{\frac{x}{2}}}}{^{\frac{x}{2}}}-1-\frac{2}{x}\right)[/latex]. En déduire la limite de la fonction [latex]h[/latex] en [latex]+\infty [/latex].
- On note [latex]h^{\prime}[/latex] la fonction dérivée de la fonction [latex]h[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex]. Pour tout réel [latex]x[/latex], calculer [latex]h^{\prime}\left(x\right)[/latex] et étudier le signe de [latex]h^{\prime}\left(x\right)[/latex] suivant les valeurs de [latex]x[/latex].
- Dresser le tableau de variations de la fonction [latex]h[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex].
- En déduire que, pour tout réel [latex]x, 2e^{^{\frac{x}{2}}}-1\geqslant x+1[/latex].
- Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe [latex]\mathscr C_{g}[/latex] et de la droite [latex]\Delta [/latex] ?
- Pour tout réel [latex]x[/latex], développer l'expression [latex]\left(e^{^{\frac{x}{2}}}-1\right)^{2}[/latex].
- Déterminer la position relative des courbes [latex]\mathscr C_{f}[/latex] et [latex]\mathscr C_{g}[/latex].
Corrigé
Solution rédigée par Paki
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