Corrigé

1. [latex]f\left(0\right)=0+e^{0}=1[/latex] Donc la courbe [latex]\mathscr C_{f}[/latex] passe par le point [latex]A[/latex] de coordonnées [latex]\left(0 ; 1\right)[/latex].
2. [latex]f[/latex] est définie et dérivable sur [latex]\mathbb{R}[/latex] et : [latex]f^{\prime}\left(x\right)=1-e^{-x}[/latex] [latex]f^{\prime}\left(x\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1-e^{-x} \geqslant 0 \Leftrightarrow e^{-x}\leqslant 1[/latex] Du fait de la stricte croissance de la fonction exponentielle : [latex]f^{\prime}\left(x\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow -x \leqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant 0[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x= + \infty [/latex] et [latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{-x}= 0[/latex] Donc, par somme : [latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)= +\infty [/latex] Pour la limite en [latex]-\infty [/latex] on a une forme indéterminée dy type « [latex]+\infty -\infty [/latex]». On peut lever cette indétermination en mettant [latex]x[/latex] en facteur : [latex]f\left(x\right)=x\left(1+\frac{e^{-x}}{x}\right)[/latex] En posant [latex]X=-x[/latex] on voit que : [latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{e^{-x}}{x}= \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }-\frac{e^{X}}{X} =-\infty [/latex] Donc [latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left(1+\frac{e^{-x}}{x}\right)= -\infty [/latex] et par produit : [latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\left(1+\frac{e^{-x}}{x}\right)= +\infty [/latex] On obtient le tableau de variation suivant :