Arbre pondéré et probabilités
Dans un sachet opaque, on place 12 jetons indiscernables au toucher sur lesquels sont inscrites les 12 lettres du mot ANNIVERSAIRE :
On tire un jeton au hasard.
Déterminer la probabilité de l'événement : « la lettre tirée est un A ».
Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
Kévin affirme qu'il y a 3 voyelles (A, E, I) et 7 lettres différentes au total (A, E, I, N, R, S, V) donc que la probabilité de tirer une voyelle est
A-t-il raison ?Après avoir tiré un jeton portant la lettre A, Kévin ne la remet pas dans le sac et tire ensuite un second jeton.
Quelle est la probabilité que ce second jeton porte également la lettre A ?
Corrigé
L'expression « au hasard » indique que chaque jeton a la même probabilité d'être tiré.
La probabilité de l'événement : « la lettre tirée est un A » est donc donné par la formule :
p=\dfrac{\text{nombre d^{\prime}issues favorables à l^{\prime}événement}}{\text{nombre total d^{\prime}issues possibles}}.Ici il y a 2 jetons portant la lettre A sur un total de 12 jetons donc :
Le raisonnement précédent peut s'appliquer à chacune des lettres.
On obtient alors l'arbre suivant :
Le raisonnement de Kévin est faux.
En effet, comme le montre l'arbre ci-dessus, toutes les lettres n'ont pas la même probabilité d'être tirées.
Il faut donc raisonner en terme de jetons et non en terme de lettres:
6 jetons portent une voyelle sur un total de 12.
La probabilité de tirer une voyelle est donc :Après avoir tiré un jeton portant la lettre A, il reste 11 jetons dans le sachet dont un seul porte la lettre A.
La probabilité de tirer à nouveau la lettre A est alors :