Probabilités

• Le lancer d'une pièce de monnaie à « Pile ou face » est une expérience aléatoire dont les résultats possibles sont « Pile » et « Face » .
• Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire dont les résultats possibles correspondent aux entiers compris entre 1 et 6.

On lance un dé à six faces.

• « Obtenir le chiffre 6 » est une issue de cette expérience.
• « Obtenir un chiffre pair » est un événement composé des trois issues : « obtenir le chiffre 2 », « obtenir le chiffre 4 » et « obtenir le chiffre 6 ».

• La probabilité d'obtenir un chiffre supérieur à 7 en lançant un dé à six faces est égale à 0 (événement impossible).
• La probabilité d'obtenir un chiffre inférieur à 7 en lançant un dé à six faces est égale à 1 (événement certain).

Une urne contient six boules indiscernables au toucher. Quatre sont blanches, une est rouge et la dernière est noire.
On tire une boule au hasard.
Quelle est la probabilité que cette boule soit blanche ?

Solution :

On est en situation d'équiprobabilité.
Il y a six boules donc 6 issues possibles.
Il y a quatre boules blanches donc 4 issues satisfaisant l'événement « la boule tirée est blanche ».

La probabilité demandée est donc :

Un dé à six faces a été truqué de façon à obtenir le chiffre 6 une fois sur deux.
On suppose qu'alors, les probabilités de chacune des issues sont les suivantes :

Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair en lançant le dé une fois ?

Solution :

L'événement « obtenir un chiffre pair » est constitué des issues : « obtenir le chiffre 2 » (probabilité : $0{,}1$), « obtenir le chiffre 4 » (probabilité : $0{,}1$) et « obtenir le chiffre 6 » (probabilité : $0{,}5$).

La probabilité cherchée est la somme de ces trois probabilités :

On lance un dé à six faces non truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre différent de 6 ?

Solution :

Soit $A$ l'événement « obtenir le chiffre 6 ». Son événement contraire $\overline{A}$ est « obtenir un chiffre différent de 6 ».

On a $p(A) = \dfrac{1}{6}$, donc :

On lance un dé à six faces. Les événements « obtenir un chiffre pair » et « obtenir le chiffre 3 » sont incompatibles : un résultat ne peut pas être à la fois pair et égal à 3.

En revanche, les événements « obtenir un chiffre pair » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » ne sont pas incompatibles car le chiffre 6 réalise les deux événements.

On lance un dé à six faces non truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 ou un 6 ?

Solution :

Les événements « obtenir un 1 » et « obtenir un 6 » sont incompatibles car un dé ne peut pas afficher les deux chiffres en même temps.

On a $p(\text{obtenir un 1}) = \dfrac{1}{6}$ et $p(\text{obtenir un 6}) = \dfrac{1}{6}$, donc :

On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis on tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher.

Quelle est la probabilité d'obtenir Pile puis une boule rouge ?

Solution :

On représente cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré.

La probabilité d'obtenir Pile puis une boule rouge correspond au chemin Pile - Rouge. On multiplie les probabilités le long de ce chemin :

On lance deux dés équilibrés à six faces et on s'intéresse à la somme des deux résultats. Le tableau ci-dessous donne toutes les sommes possibles :

Il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables. Pour obtenir une somme égale à $7$, on compte $6$ cases favorables, donc :