Graphe probabiliste [spé]
I. Étude d'un exemple
On étudie la propagation d'une maladie dans une population.
On choisit au hasard une personne dans cette population.
On note :
l'événement « la personne est malade le ième jour de l'étude » ;
l'événement « la personne est saine le ième jour de l'étude » ;
la probabilité de l'événement ;
la probabilité de l'événement .
On suppose que :
la probabilité qu'une personne malade soit guérie le lendemain est ;
la probabilité qu'une personne saine tombe malade le lendemain est .
Au début de l'étude, la maladie touche 5 % de la population. On a donc et .
a. Utilisation d'un arbre
On peut représenter la situation au jour 0 et au jour 1 par l'arbre ci-dessous :
La formule des probabilités totales permet de calculer les probabilités et :
De même, on peut représenter l'évolution du jour au jour grâce à l'arbre ci-dessous :
On obtient, en utilisant à nouveau la formule des probabilités totales :
.
b. Graphe probabiliste
À une date donnée, un individu se trouve dans l'un ou l'autre des deux états suivants :
la personne est malade (état noté M)
la personne est saine (état noté S)
Un graphe probabiliste représente ces deux états sous la forme de sommets et les probabilités de passer d'un état à l'autre sous la forme d'arcs orientés.
Dans notre exemple, on obtient le graphe suivant :
On remarque que la somme des probabilités issues d'un même sommet (en bleu pour M et en rouge pour S) est toujours égale à 1.
c. Matrice de transition
Les relations trouvées grâce à l'arbre :
peuvent s'écrire sous forme matricielle :
N.B. Vérifier le en effectuant le calcul : .
En notant et pour tout entier naturel , , la relation précédente s'écrit :
La matrice s'appelle matrice de transition et les matrices lignes , états probabilistes.
On a alors :
où est l'état initial
et ainsi de suite...
Par exemple, l'état probabiliste au cinquième jour sera :
À la calculatrice, on trouve (au millième près).
Le cinquième jour, 38,9% de la population sera malade.
II. Graphe probabiliste - Matrice de transition
Dans toute cette partie, on considère un système possédant états possibles notés , , ... . Ce système peut changer d'état au cours du temps et on suppose que la probabilité de passer de l'état à l'état reste constante.
Définition
Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel :
Les sommets du graphe représentent les différents états possibles d'un système
Les poids des arcs indiquent les probabilités de passage d'un état à l'autre
Dans un graphe orienté, la somme des poids des arcs issus d'un même sommet est égale à 1.
Exemples
a. Graphe probabiliste d'ordre 2
Graphe probabiliste à 2 états et
b. Graphe probabiliste d'ordre 3
Graphe probabiliste à 3 états , et
Définition
Soit un graphe probabiliste d'ordre .
Les états probabilistes sont des matrices à une ligne à colonnes qui indiquent pour chacun des sommets, la probabilité de se trouver dans cet état à l'étape .
La somme des coefficients d'un état probabiliste est égale à 1.
Remarques
L'état probabiliste s'appelle l'état probabiliste initial.
Pour un système à deux états A et B, les états probabilistes seront de la forme où et sont les probabilités de se trouver respectivement dans les états A et B à l'étape .
Le système se trouvant, à chaque étape, soit dans l'état A soit dans l'état B, on aura, pour tout entier naturel ,
Pour un système à trois états, les états probabilistes seront de la forme avec, pour tout entier naturel , .
Définition
Soit un graphe probabiliste d'ordre dont les états sont notés , , ... .
La matrice de transition associée un graphe probabiliste d'ordre est une matrice carrée dont le terme situé à l'intersection de la -ème ligne et de la -ème colonne représente la probabilité de passer de l'état à l'état .
Dans une matrice de transition, la somme des coefficients situés sur une même ligne est égale à 1.
Exemples
a. Graphe probabiliste d'ordre 2
Considérons le graphe probabiliste suivant :
La matrice de transition associée à ce graphe est :
b. Graphe probabiliste d'ordre 3
Dans l'exemple du graphe d'ordre 3 :
La matrice de transition est :
Théorème
Soit un système dont la matrice de transition est notée , d'état initial et d'état probabiliste à l'étape .
Alors, pour tout entier naturel :
Démonstration
Ce résultat se démontre en utilisant la formule des probabilités totales (voir partie {I. Étude d'un exemple } )
Remarque
On peut rapprocher ces formules de celles obtenues pour les suites géométriques : et .
Mais attention à l'ordre des matrices : le produit de matrices n'est pas commutatif !
III. États stables
Définition
Soit un graphe probabiliste de matrice de transition .
Un état stable est un état probabiliste qui vérifie .
Remarque
En pratique pour trouver un état stable :
On pose si le graphe possède 2 états ( ou si le graphe possède 3 états)
On écrit le système correspondant à l'égalité matricielle
On ajoute au système l'équation ( ou si le graphe possède 3 états ) qui caractérise les états probabilistes ( la somme des coefficients est égale à 1)
On résout le système obtenu...
Exemple
Reprenons le graphe :
La matrice de transition associée est .
En posant on obtient le système
qui est équivalent à :
Les deux premières équations sont identiques et en remplaçant par dans la première équation on obtient :
Il y a donc un état stable
Propriété
Si la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre 2 ou 3 ne comporte pas de coefficient nul, alors :
le graphe possède un état stable
les états probabilistes tendent vers l'état stable quand devient grand.
Remarques
Cette propriété donne une condition suffisante mais non nécessaire. Il est possible qu'une matrice de transition comporte des coefficients nuls mais que le système converge malgré tout vers un état stable.
Le résultat précédent est également valable si le degré du graphe est supérieur à 3 (mais n'est pas au programme dans ce cas). Il s'agit d'un cas particulier du théorème de Perron-Frobenius