Comparer deux fonctions affines
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1 - Trouver le point d'intersection de deux droites
Méthode
Pour trouver le point d'intersection des représentations graphiques de deux fonctions affines $f(x) = ax + b$ et $g(x) = cx + d$ :
- Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $ax + b = cx + d$.
- La solution $x_0$ donne l'abscisse du point d'intersection.
- Calculer $f(x_0)$ (ou $g(x_0)$) pour obtenir l'ordonnée.
Remarque
Si les deux fonctions ont le même coefficient directeur ($a = c$), les droites sont parallèles : elles ne se coupent jamais (si $b \neq d$) ou sont confondues (si $b = d$). L'équation $ax + b = cx + d$ n'a alors aucune solution ou une infinité de solutions.
Intersection de deux droites
On considère les fonctions $f(x) = 2x - 1$ et $g(x) = -x + 5$.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de leurs représentations graphiques.
Étape 1 : on résout $f(x) = g(x)$ :
$2x - 1 = -x + 5$
$2x + x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x = 2$
Étape 2 : on calcule l'ordonnée :
$f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3$
Les deux droites se coupent au point $I(2 ; 3)$.
Vérification : $g(2) = -2 + 5 = 3$.
Comparaison de tarifs
Deux salles de sport proposent les tarifs suivants :
- Salle A : $30$ euros d'abonnement mensuel plus $5$ euros par séance.
- Salle B : pas d'abonnement, $12$ euros par séance.
Soit $x$ le nombre de séances dans un mois.
Le coût pour la salle A est $f(x) = 5x + 30$.
Le coût pour la salle B est $g(x) = 12x$.
A partir de combien de séances la salle A est-elle plus avantageuse ?
On cherche quand les deux tarifs sont égaux :
$5x + 30 = 12x$
$30 = 12x - 5x$
$30 = 7x$
$x = \dfrac{30}{7} \approx 4{,}3$
Pour $4$ séances : $f(4) = 50$ euros et $g(4) = 48$ euros (salle B moins chère).
Pour $5$ séances : $f(5) = 55$ euros et $g(5) = 60$ euros (salle A moins chère).
La salle A devient plus avantageuse à partir de 5 séances par mois.
2 - Résoudre une inéquation du type $f(x) \geqslant g(x)$
Méthode
Pour déterminer les valeurs de $x$ telles que $f(x) \geqslant g(x)$ :
Par le calcul :
- Résoudre l'inéquation $ax + b \geqslant cx + d$ comme une inéquation du premier degré.
Graphiquement :
- Tracer les deux droites dans un même repère.
- Repérer le point d'intersection.
- Lire les valeurs de $x$ pour lesquelles la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$.
Résolution par le calcul
On considère $f(x) = 3x - 2$ et $g(x) = x + 4$.
Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) \geqslant g(x)$.
On résout l'inéquation :
$3x - 2 \geqslant x + 4$
$3x - x \geqslant 4 + 2$
$2x \geqslant 6$
$x \geqslant 3$
On a $f(x) \geqslant g(x)$ pour tout $x \geqslant 3$.
Résolution graphique
On reprend les fonctions $f(x) = 3x - 2$ et $g(x) = x + 4$.
Les droites se coupent au point $I(3 ; 7)$.
Pour $x \geqslant 3$, la droite de $f$ (en rouge) est au-dessus de la droite de $g$ (en bleu), donc $f(x) \geqslant g(x)$.
Remarque
Graphiquement, $f(x) \geqslant g(x)$ correspond aux valeurs de $x$ pour lesquelles la droite de $f$ est au-dessus (ou confondue avec) la droite de $g$.
Attention
Quand on divise (ou multiplie) les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité. Par exemple :
$-2x \geqslant 6$ donne $x \leqslant -3$ (et non $x \geqslant -3$).