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Fonctions affines Exercices

Randonnée en montagne

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Un sentier de montagne relie un parking à un refuge situé à 16 km du parking.

Léa part du parking à 8 h et monte vers le refuge à la vitesse constante de 3 km/h.
Thomas part du refuge à 8 h et descend vers le parking à la vitesse constante de 5 km/h.

On note $ t $ le temps écoulé, en heures, depuis 8 h.

  1. Justifier que la distance, en km, de Léa au parking est donnée par $ f(t) = 3t $.
  2. Montrer que la distance, en km, de Thomas au parking est donnée par $ g(t) = -5t + 16 $.
  3. Quelle est la nature des fonctions $ f $ et $ g $ ? Préciser pour chacune le coefficient directeur et, le cas échéant, l'ordonnée à l'origine.
  4. Représenter graphiquement les fonctions $ f $ et $ g $ dans un même repère pour $ t \in [0\,;\,5] $.
    On prendra 2 cm pour 1 heure en abscisse et 1 cm pour 2 km en ordonnée.
  5. Déterminer graphiquement l'heure à laquelle Léa et Thomas se croisent ainsi que leur distance au parking à cet instant.
  6. Retrouver ces résultats par le calcul.

Corrigé

  1. Léa part du parking (km 0) et marche à vitesse constante de 3 km/h. Après $ t $ heures de marche, elle a parcouru $ 3 \times t = 3t $ km.
    Sa distance au parking est donc $\mathbf{f(t) = 3t}$.
  2. Thomas part du refuge situé à 16 km du parking. Après $ t $ heures, il a parcouru $ 5t $ km en direction du parking.
    Sa distance au parking est donc :
    $ g(t) = 16 - 5t $
    On obtient bien $\mathbf{g(t) = -5t + 16}$.
  3. La fonction $ f : t \longmapsto 3t $ est de la forme $ t \longmapsto at $ avec $ a = 3 $. C'est une fonction linéaire (donc aussi affine), de coefficient directeur $ a = 3 $.
    La fonction $ g : t \longmapsto -5t + 16 $ est de la forme $ t \longmapsto at + b $ avec $ a = -5 $ et $ b = 16 $. C'est une fonction affine de coefficient directeur $ a = -5 $ et d'ordonnée à l'origine $ b = 16 $.

  4. Pour tracer la droite de $ f $, on calcule deux images :
    $ f(0) = 0 $ et $ f(4) = 12 $. La droite passe par les points $ (0\,;\,0) $ et $ (4\,;\,12) $.
    Pour tracer la droite de $ g $, on calcule deux images :
    $ g(0) = 16 $ et $ g(3) = 1 $. La droite passe par les points $ (0\,;\,16) $ et $ (3\,;\,1) $.

    Représentation graphique des fonctions f et g modélisant la randonnée
    Représentations graphiques de $ f $ (en bleu) et $ g $ (en rouge)
  5. Graphiquement, les deux droites se coupent au point de coordonnées $ (2\,;\,6) $.
    Léa et Thomas se croisent à 10 h (soit 2 h après 8 h), à 6 km du parking.
  6. On résout l'équation $ f(t) = g(t) $ :
    $ 3t = -5t + 16 $
    $ 3t + 5t = 16 $
    $ 8t = 16 $
    $ t = \dfrac{16}{8} $
    $ t = 2 $
    On calcule la distance : $ f(2) = 3 \times 2 = 6 $ km.
    Léa et Thomas se croisent bien 2 heures après 8 h, soit à 10 h, à 6 km du parking.