Fonctions affines – Tarifs de deux carreleurs – Brevet Polynésie septembre 2025
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On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.
Le carreleur A fait payer 80 € par m².
Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.
- Montrer que pour une surface dont l'aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.
- Calculer le prix à payer pour une surface dont l'aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
On désigne par $ x $ l'aire de la surface à carreler exprimée en m².
- On appelle $ f $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $ f $ est définie par $ f(x) = 80x $.
- On appelle $ g $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $ g $ est définie par $ g(x) = 60x + 970 $.
- Quelle est l'image de 70 par la fonction $ f $ ?
- Quel est l'antécédent de 2 400 par la fonction $ f $ ?
- Sur le graphique fourni en annexe, on a tracé la représentation graphique de la fonction $ g $.
Tracer la représentation graphique de la fonction $ f $ sur ce même graphique.
- En utilisant le graphique fourni en annexe, estimer l'aire maximale en m² que l'on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l'on choisit le carreleur B.
- Calculer l'aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.
Annexe
Corrigé
Carreleur A : $ 80 \times 20 = 1\,600 $ €. Le prix est bien de 1 600 €.
Carreleur B : $ 60 \times 20 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170 $ €. Le prix est bien de 2 170 €.
Pour une surface de 60 m² :
Carreleur A : $ 80 \times 60 = 4\,800 $ €.
Carreleur B : $ 60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570 $ €.
Pour 60 m², on paie 4 800 € avec le carreleur A et 4 570 € avec le carreleur B.
L'image de 70 par $ f $ est $ f(70) = 80 \times 70 = 5\,600 $.
$ f(70) = 5\,600 $On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 2\,400 $, c'est-à-dire $ 80x = 2\,400 $, d'où $ x = \dfrac{2\,400}{80} = 30 $.
L'antécédent de 2 400 par $ f $ est 30.
La fonction $ f $ est linéaire : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour la tracer, il suffit de placer un second point, par exemple $ (60\,;\,4\,800) $ d'après la question 2, et de joindre ce point à l'origine.
On lit l'antécédent de 2 800 € par la fonction $ g $ : on repère 2 800 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite représentant $ g $, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
On lit graphiquement environ 30 m².
Remarque
On peut vérifier par le calcul : $ g(x) = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x + 970 = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x = 1\,830 \;\Leftrightarrow\; x = 30{,}5 $ m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
On cherche l'aire $ x $ pour laquelle $ f(x) = g(x) $ :
$ 80x = 60x + 970 $
$ 80x - 60x = 970 $
$ 20x = 970 $
$ x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5 $.
Pour une aire de 48,5 m², les deux carreleurs facturent le même prix.
(On peut vérifier : $ f(48{,}5) = 80 \times 48{,}5 = 3\,880 $ € et $ g(48{,}5) = 60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880 $ €.)