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Seconde

Complément

Écriture fractionnaire d'un nombre

Situation

On cherche à écrire un nombre dont on connaît une écriture décimale illimitée (par exemple 1,7323232...) sous forme d'une fraction pq\frac{p}{q}​q​​p​​ ( p∈Z,q∈N∗p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}^*p∈Z,q∈N​∗​​ )

Méthode

Un nombre est rationnel si et seulement si une séquence de ses décimales se répète indéfiniment à partir d'un certain rang.

Par exemple 1,7323232... 1,7323232... 1,7323232... dans lequel la séquence 323232 se répète indéfiniment, est un nombre rationnel que l'on note parfois 1,732‾1,7 \overline{ 32} 1,7​32​​​ (le surlignage désignant la séquence qui se répète).

  1. On part de l'égalité :

    x= x= x=écriture décimale illimitée    \ \   [égalité 1]

    x x x repésentant le nombre dont on cherche l'écriture fractionnaire.

    On multiplie chaque membre de l'égalité par 10n10^n10​n​​, où n est la longueur de la séquence qui se répète.

    ( Rappel : 10n10^n10​n​​ s'écrit 1 suivi de n zéros)

    Par exemple dans le cas de 1,7323232... on multipliera chaque membre par 100 (10210^210​2​​).

    On obtient une égalité de la forme :

    10nx10^nx10​n​​x=autre écriture décimale illimitée    \ \   [égalité 2]

  2. On soustrait membre à membre l'égalité 1 de l'égalité 2.

    On remarque que les décimales s'éliminent à partir d'un certain rang !

  3. Il est alors facile d'écrire x x x sous forme fractionnaire qu'il suffit ensuite de simplifier.

Exemple 1

Ecrire 0,666666... sous forme de fraction.

  1. On part de l'égalité :

    x=0,666666...   x=0,666666... \ \ x=0,666666...   [égalité 1]

    La séquence qui se répète est constituée d'un seul chiffre.

    On multiplie donc chaque membre de l'égalité par 101=1010^1=1010​1​​=10

    10x=6,66666....   10x=6,66666.... \ \ 10x=6,66666....  [égalité 2]

  2. On soustrait membre à membre [égalité 2]-[égalité 1] :

    10x−x=6,66666...−0,666666... 10x - x=6,66666... - 0,666666... 10x−x=6,66666...−0,666666...

    9x=6 9x=6 9x=6

  3. On divise chaque membre par 9 9 9 et on simplifie par 3 3 3

    x=69=23x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}x=​9​​6​​=​3​​2​​

Exemple 2

Quelle fraction vaut 5,153454545... 5,153454545... 5,153454545...?

  1. On part cette fois de l'égalité :

    x=5,153454545...   x=5,153454545... \ \ x=5,153454545...  [égalité 1]

    La séquence qui se répète est comporte 2 chiffres (45).

    On va donc multiplier chaque membre par 102=10010^2=10010​2​​=100.

    100x=515,3454545...   100x=515,3454545... \ \ 100x=515,3454545...  [égalité 2]

  2. On soustrait les deux égalités :

    100x−x=515,3454545...−5,153454545... 100x - x=515,3454545... - 5,153454545...100x−x=515,3454545...−5,153454545...

    99x=510,192 99x=510,192 99x=510,192

  3. On multiplie chaque membre par 1000 1000 1000pour supprimer la virgule :

    Revoir

    Revoir les règles de simplification de fractions et les critères de divisibilité

    99000x=510192 99000 x=51019299000x=510192

    on divise par 99000 99000 99000 :

    x=51019299000x=\frac{510192}{99000}x=​99000​​510192​​

    la fraction se simplifie par 8 puis par 9 (donc par 72) :

    x=70861375x=\frac{7086}{1375}x=​1375​​7086​​

Petit complément

Appliquer cette méthode à x=0,99999... x=0,99999... x=0,99999...

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