Situation
On cherche à écrire un nombre dont on connaît une écriture décimale illimitée (par exemple 1,7323232...) sous forme d'une fraction ( )
Méthode
Un nombre est rationnel si et seulement si une séquence de ses décimales se répète indéfiniment à partir d'un certain rang.
Par exemple dans lequel la séquence se répète indéfiniment, est un nombre rationnel que l'on note parfois (le surlignage désignant la séquence qui se répète).
On part de l'égalité :
écriture décimale illimitée [égalité 1]
repésentant le nombre dont on cherche l'écriture fractionnaire.
On multiplie chaque membre de l'égalité par , où n est la longueur de la séquence qui se répète.
( Rappel : s'écrit 1 suivi de n zéros)
Par exemple dans le cas de 1,7323232... on multipliera chaque membre par 100 ().
On obtient une égalité de la forme :
=autre écriture décimale illimitée [égalité 2]
On soustrait membre à membre l'égalité 1 de l'égalité 2.
On remarque que les décimales s'éliminent à partir d'un certain rang !
Il est alors facile d'écrire sous forme fractionnaire qu'il suffit ensuite de simplifier.
Exemple 1
Ecrire 0,666666... sous forme de fraction.
On part de l'égalité :
[égalité 1]
La séquence qui se répète est constituée d'un seul chiffre.
On multiplie donc chaque membre de l'égalité par
[égalité 2]
On soustrait membre à membre [égalité 2]-[égalité 1] :
On divise chaque membre par et on simplifie par
Exemple 2
Quelle fraction vaut ?
On part cette fois de l'égalité :
[égalité 1]
La séquence qui se répète est comporte 2 chiffres (45).
On va donc multiplier chaque membre par .
[égalité 2]
On soustrait les deux égalités :
On multiplie chaque membre par pour supprimer la virgule :
Revoir
Revoir les règles de simplification de fractions et les critères de divisibilité
on divise par :
la fraction se simplifie par 8 puis par 9 (donc par 72) :
Petit complément
Appliquer cette méthode à
Le résultat vous surprend-il?
