Situation
On cherche à écrire un nombre dont on connaît une écriture décimale illimitée (par exemple 1,7323232...) sous forme d'une fraction \frac{p}{q} ( p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}^* )
Méthode
Un nombre est rationnel si et seulement si une séquence de ses décimales se répète indéfiniment à partir d'un certain rang.
Par exemple 1,7323232... dans lequel la séquence 32 se répète indéfiniment, est un nombre rationnel que l'on note parfois 1,7[span underscore]32[/span] (le souligné désignant la séquence qui se répète).
- On part de l'égalité :
x=écriture décimale illimitée [égalité 1]
x repésentant le nombre dont on cherche l'écriture fractionnaire.
On multiplie chaque membre de l'égalité par 10[sup]n[/sup], où n est la longueur de la séquence qui se répète.Rappel
10[sup]n[/sup] s'écrit 1 suivi de n zéros
Par exemple dans le cas de 1,7323232... on multipliera chaque membre par 100 (10[sup]2[/sup]).
On obtient une égalité de la forme :
10[sup]n[/sup]x=autre écriture décimale illimitée [égalité 2] - On soustrait membre à membre l'égalité 1 de l'égalité 2. Les décimales s'éliminent à partir d'un certain rang !
- Il est alors facile d'écrire x sous forme fractionnaire qu'il suffit alors de simplifier.
Exemple 1
Ecrire 0,666666... sous forme de fraction.
- On part de l'égalité :
x=0,666666... [égalité 1]
La séquence qui se répète est constituée d'un seul chiffre. On multiplie donc chaque membre de l'égalité par 10[sup]1[/sup]=10
10x=6,66666.... [égalité 2] - On soustrait membre à membre [égalité 2]-[égalité 1] :
10x-x=6,66666...-0,666666...
9x=6 - On divise chaque membre par 9 et on simplifie par 3
x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
Exemple 2
Quelle fraction vaut 5,153454545... ?
- On part cette fois de l'égalité :
x=5,153454545... [égalité 1]
La séquence qui se répète est comporte 2 chiffres (45). On va donc multiplier chaque membre par 10[sup]2[/sup]=100.
100x=515,3454545... [égalité 2] - On soustrait les deux égalités :
100x-x=515,3454545...-5,153454545...
99x=510,192 - On multiplie chaque membre par 1000 pour supprimer la virgule :
Revoir
Revoir les règles de simplification de fractions et les critères de divisibilité
99000 x=510192
on divise par 99000 :
x=\frac{510192}{99000}
la fraction se simplifie par 4 puis par 9 (donc par 36) :
x=\frac{14172}{2750}
Petit complément
Appliquer cette méthode à x=0,99999...
Le résultat vous surprend-il?
