Vérifier qu’une fonction est une densité de probabilité
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Pour vérifier qu'une fonction $ f $ est une densité de probabilité sur un intervalle $ I = [a;b] $ :
- Étape 1 : vérifier que $ f $ est continue sur $ I $ (ou continue par morceaux).
- Étape 2 : vérifier que $ f $ est positive sur $ I $, c'est-à-dire $ f(x) \geqslant 0 $ pour tout $ x \in I $.
- Étape 3 : déterminer une primitive $ F $ de $ f $ sur $ I $, puis calculer $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $.
- Étape 4 : conclure : si l'intégrale vaut $ 1 $, alors $ f $ est une densité de probabilité sur $ I $.
Remarque
Si l'intervalle est non borné (par exemple $ [0;+\infty[ $), l'intégrale s'écrit comme une limite : $ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x)\,dx $.
Densité sur un intervalle borné
Soit $ f $ la fonction définie sur $ [0;2] $ par $ f(x) = \dfrac{x}{2} $.
Vérifier que $ f $ est une densité de probabilité sur $ [0;2] $.
Étape 1 : $ f $ est une fonction polynôme, donc continue sur $ [0;2] $.
Étape 2 : pour tout $ x \in [0;2] $, $ x \geqslant 0 $ donc $ \dfrac{x}{2} \geqslant 0 $. La fonction $ f $ est positive sur $ [0;2] $.
Étape 3 : une primitive de $ f $ est $ F(x) = \dfrac{x^{2}}{4} $.
Étape 4 : les trois conditions sont vérifiées, donc $ f $ est bien une densité de probabilité sur $ [0;2] $.
Déterminer un coefficient pour qu'une fonction soit une densité
Soit $ k $ un réel et $ f $ la fonction définie sur $ [0;3] $ par $ f(x) = k\,x^{2} $.
Déterminer la valeur de $ k $ pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0;3] $.
Étape 1 : $ f $ est continue sur $ [0;3] $ pour tout réel $ k $.
Étape 2 : pour que $ f(x) \geqslant 0 $ sur $ [0;3] $, il faut $ k \geqslant 0 $ (car $ x^{2} \geqslant 0 $).
Étape 3 : une primitive de $ f $ est $ F(x) = k \times \dfrac{x^{3}}{3} $.
Étape 4 : on doit avoir $ 9k = 1 $, soit $ k = \dfrac{1}{9} $.
Cette valeur est bien positive, donc $ f $ définie par $ f(x) = \dfrac{x^{2}}{9} $ est une densité de probabilité sur $ [0;3] $.
Remarque
Cette technique d'ajustement d'un coefficient pour normaliser une intégrale à $ 1 $ est très fréquente : on dit que l'on normalise la fonction.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier de vérifier la positivité : une fonction d'intégrale $ 1 $ qui prend des valeurs négatives n'est pas une densité.
- Oublier la continuité : une fonction continue par morceaux peut convenir, mais il faut le préciser.
- Confondre la valeur de l'intégrale avec la valeur de $ f $ aux bornes : $ f(b) $ peut être différent de $ 1 $, c'est l'aire totale qui doit valoir $ 1 $.