QCM : Variable aléatoire continue et fonction de densité
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Ce QCM porte sur les variables aléatoires continues et la notion de fonction de densité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans $[a\,;\,b]$ et $k$ un réel de $[a\,;\,b]$. Que vaut $P(X = k)$ ?
- (Incorrect) $\dfrac{1}{b - a}$
- (Incorrect) $f(k)$
- (Correct) $0$
- (Incorrect) On ne peut pas le calculer
Question 2 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\,;\,b]$. Pour que $f$ soit une fonction de densité, quelles sont les trois conditions à vérifier ?
- (Incorrect) $f$ croissante, $f(a) = 0$ et $f(b) = 1$
- (Incorrect) $f$ continue, bornée par $1$ et de moyenne nulle
- (Correct) $f$ continue, $f \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = 1$
- (Incorrect) $f$ dérivable, $f \geqslant 0$ et $f(a) + f(b) = 1$
Question 3 : La fonction $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}$ est-elle une densité de probabilité sur cet intervalle ?
- (Incorrect) Non, car $f(2) = 1$
- (Correct) Oui, car $f$ est continue, positive et $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 1$
- (Incorrect) Non, car $f$ n'est pas constante
- (Incorrect) Oui, mais seulement parce que $f$ est croissante
Question 4 : Soit $X$ une variable aléatoire continue. Quelle égalité est correcte ?
- (Correct) $P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3)$
- (Incorrect) $P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3) + P(X = 1) + P(X = 3)$
- (Incorrect) $P(1 < X < 3) < P(1 \leqslant X \leqslant 3)$
- (Incorrect) $P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3) - 1$
Question 5 : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Géométriquement, à quoi correspond la probabilité $P(c \leqslant X \leqslant d)$ ?
- (Incorrect) La valeur $f(d) - f(c)$
- (Incorrect) La hauteur du rectangle de base $[c\,;\,d]$
- (Correct) L'aire (en unités d'aire) du domaine sous la courbe de $f$ entre $x = c$ et $x = d$
- (Incorrect) La pente de la corde joignant $(c\,;\,f(c))$ à $(d\,;\,f(d))$
Question 6 : Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = k\,x^{2}$. Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle une densité de probabilité sur $[0\,;\,1]$ ?
- (Incorrect) $k = 1$
- (Incorrect) $k = 2$
- (Correct) $k = 3$
- (Incorrect) $k = \dfrac{1}{3}$