Utiliser la loi uniforme sur un intervalle
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Soit $ X $ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $ [a;b] $.
- Étape 1 : reconnaître la situation : « tirer un nombre au hasard de manière uniforme dans $ [a;b] $ », « heure d'arrivée également probable entre… et… ». La densité est $ f(x) = \dfrac{1}{b - a} $.
- Étape 2 : pour calculer une probabilité $ p(c \leqslant X \leqslant d) $ avec $ a \leqslant c \leqslant d \leqslant b $, appliquer directement la formule $ p(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a} $.
- Étape 3 : pour l'espérance, appliquer la formule $ E(X) = \dfrac{a + b}{2} $.
- Étape 4 : conclure en interprétant le résultat dans le contexte de l'énoncé.
Remarque
La probabilité $ \dfrac{d - c}{b - a} $ est simplement le rapport de la longueur de l'intervalle de l'événement à la longueur totale du support : elle correspond à l'aire d'un rectangle de hauteur $ \dfrac{1}{b - a} $ et de largeur $ d - c $.
Calcul direct d'une probabilité
Le bus passe à un arrêt entre $ 8 $ h et $ 8 $ h $ 20 $, avec une heure de passage modélisée par une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi uniforme sur $ [0;20] $ (en minutes après $ 8 $ h).
Quelle est la probabilité que le bus passe entre $ 8 $ h $ 05 $ et $ 8 $ h $ 12 $ ?
Étape 1 : $ X $ suit la loi uniforme sur $ [0;20] $, donc $ a = 0 $, $ b = 20 $ et $ b - a = 20 $.
Étape 2 : l'événement est $ (5 \leqslant X \leqslant 12) $.
Étape 4 : la probabilité que le bus passe entre $ 8 $ h $ 05 $ et $ 8 $ h $ 12 $ est de $ 0{,}35 $, soit $ 35\,\% $.
Espérance et probabilité combinées
Un nombre $ X $ est tiré au hasard de manière uniforme dans l'intervalle $ [10;30] $.
a) Calculer $ E(X) $.
b) Calculer $ p(X \geqslant 25) $.
Étape 1 : $ X $ suit la loi uniforme sur $ [10;30] $, donc $ a = 10 $, $ b = 30 $ et $ b - a = 20 $.
a) Étape 3 : application directe de la formule de l'espérance.
b) Étape 2 : l'événement est $ (25 \leqslant X \leqslant 30) $.
Étape 4 : en moyenne, le nombre tiré vaut $ 20 $, et la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à $ 25 $ est $ 0{,}25 $.
Remarque
La fonction $ \texttt{random()} $ en Python (module $ \texttt{random} $) renvoie un nombre suivant la loi uniforme sur $ [0;1[ $. Pour simuler la loi uniforme sur $ [a;b] $, on utilise $ a + (b - a) \times \texttt{random()} $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Vouloir intégrer alors que la formule $ \dfrac{d - c}{b - a} $ donne directement le résultat.
- Inverser le numérateur et le dénominateur (la longueur de l'événement est au numérateur).
- Utiliser des bornes en dehors de $ [a;b] $ : si $ d > b $, il faut prendre $ d = b $ (la densité est nulle hors du support).
- Confondre l'espérance $ \dfrac{a + b}{2} $ avec la longueur $ b - a $.