Lois continues – Bac ES/L Centres étrangers 2013
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Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
Paul se connecte sur le site. La durée $ D $ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $ \left[20 ; 120\right] $.
- Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.
- Calculer l'espérance mathématique de $ D $. Interpréter ce résultat
Corrigé
La variable aléatoire $ D $ suit une loi uniforme sur l'intervalle $ [20 ; 120] $.
La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes correspond à la probabilité que la durée $ D $ soit inférieure ou égale à 60 secondes. Comme $ D \in [20 ; 120] $, on cherche $ P(20 \leqslant D \leqslant 60) $.
Pour une loi uniforme sur $ [a ; b] $, la probabilité $ P(c \leqslant D \leqslant d) $ est donnée par $ \dfrac{d - c}{b - a} $.
Ici $ a = 20 $, $ b = 120 $, $ c = 20 $ et $ d = 60 $.$ P(D \leqslant 60) = \dfrac{60 - 20}{120 - 20} = \dfrac{40}{100} = 0{,}4 $La probabilité que les joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est de $ 0{,}4 $.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $ [a ; b] $ est donnée par $ E(D) = \dfrac{a + b}{2} $.
$ E(D) = \dfrac{20 + 120}{2} = \dfrac{140}{2} = 70 $En moyenne, le temps nécessaire pour réunir les quatre joueurs est de 70 secondes.