Utiliser la propriété de durée de vie sans vieillissement
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La loi exponentielle est dite « sans vieillissement ». Si $ X $ suit une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $, alors pour tous réels positifs $ s $ et $ t $ :
Pour exploiter cette propriété :
- Étape 1 : repérer dans l'énoncé une probabilité conditionnelle du type « sachant que le composant a déjà fonctionné pendant $ s $, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore pendant $ t $ ? ».
- Étape 2 : reconnaître la forme $ p_{(X > s)}(X > s + t) $ et appliquer la propriété : ce calcul se ramène à $ p(X > t) $.
- Étape 3 : calculer $ p(X > t) = \text{e}^{-\lambda t} $ avec la formule de la loi exponentielle.
- Étape 4 : interpréter le résultat dans le contexte (la durée déjà passée n'a pas d'influence sur la durée restante).
Remarque
Cette propriété traduit une situation idéalisée : un composant « ne vieillit pas », sa probabilité de tomber en panne dans la prochaine heure est la même quel que soit son âge. C'est un modèle adapté aux pannes accidentelles, pas à l'usure mécanique.
Application directe de la propriété
La durée de vie $ X $ (en années) d'une ampoule LED suit une loi exponentielle de paramètre $ \lambda = 0{,}1 $.
Une ampoule fonctionne déjà depuis $ 6 $ ans. Quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins $ 4 $ années supplémentaires ?
Étape 1 : on cherche la probabilité que la durée totale $ X $ dépasse $ 6 + 4 = 10 $ ans, sachant que $ X $ dépasse déjà $ 6 $ ans. Il s'agit donc de :
Étape 2 : on reconnaît la forme $ p_{(X > s)}(X > s + t) $ avec $ s = 6 $ et $ t = 4 $. D'après la propriété de durée de vie sans vieillissement :
Étape 3 :
Étape 4 : la probabilité que l'ampoule fonctionne encore au moins $ 4 $ ans est environ $ 0{,}67 $. C'est exactement la même probabilité qu'une ampoule neuve fonctionne au moins $ 4 $ ans : son âge n'influence pas sa fiabilité future.
Démonstration de la propriété sur un cas particulier
$ X $ suit une loi exponentielle de paramètre $ \lambda = 0{,}5 $.
Vérifier par le calcul que $ p_{(X > 2)}(X > 5) = p(X > 3) $.
Étape 1 : on calcule la probabilité conditionnelle par sa définition.
L'événement $ (X > 5) \cap (X > 2) $ est égal à $ (X > 5) $ (car $ X > 5 $ implique $ X > 2 $).
Étape 2 : on simplifie en utilisant les règles de calcul sur les exponentielles.
Étape 3 : par ailleurs :
Étape 4 : on a bien $ p_{(X > 2)}(X > 5) = p(X > 3) = \text{e}^{-1{,}5} \approx 0{,}2231 $, ce qui illustre la propriété de durée de vie sans vieillissement.
Remarque
Le calcul de l'exemple 2 est en fait une démonstration générale : pour tous $ s, t \geqslant 0 $,
Attention
Erreurs fréquentes :
- Croire que la propriété signifie « le composant ne tombe jamais en panne » : elle indique seulement que le passé n'influence pas le futur.
- Confondre $ p(X > s + t) $ et $ p_{(X > s)}(X > s + t) $ : le premier est la probabilité absolue (sans condition), le second est conditionnel et égal à $ p(X > t) $.
- Vouloir appliquer la propriété à une loi non exponentielle : seule la loi exponentielle vérifie cette propriété.
- Oublier de soustraire $ s $ : la durée restante est $ t $, pas $ s + t $.