Équations simples avec ln et exp

Pour chaque équation, on précise d'abord le domaine de validité (chaque expression placée dans un $ \ln $ doit être strictement positive), puis on utilise soit la définition $ \ln(x)=k \iff x = e^{k} $, soit l'injectivité de $ \ln $.

1. Domaine : $ x > 0 $.
   $ \ln(x) = 2 \iff x = e^{2} $.
   Comme $ e^{2} > 0 $, la solution est dans le domaine.
   $ S$ = $\mathbf{\{e^{2}\}}$.
2. Domaine : $ x > 0 $.
   $ \ln(x) = -3 \iff x = e^{-3} = \dfrac{1}{e^{3}} $.
   Comme $ e^{-3} > 0 $, la solution est dans le domaine.
   $ S$ = $\mathbf{\left\{\dfrac{1}{e^{3}}\right\}}$.
3. L'équation $ e^{x} = 7 $ est définie sur $ \mathbb{R} $.
   $ e^{x} = 7 \iff x = \ln(7) $.
   $ S$ = $\mathbf{\{\ln(7)\}}$.
4. Domaine : $ 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2} $.
   $ \ln(2x - 1) = 0 \iff 2x - 1 = e^{0} = 1 \iff x = 1 $.
   Comme $ 1 > \dfrac{1}{2} $, la solution est dans le domaine.
   $ S$ = $\mathbf{\{1\}}$.
5. Domaine : $ x + 3 > 0 $ et $ 2x - 5 > 0 $, soit $ x > \dfrac{5}{2} $.
   $ \ln(x + 3) = \ln(2x - 5) \iff x + 3 = 2x - 5 \iff x = 8 $.
   Comme $ 8 > \dfrac{5}{2} $, la solution est dans le domaine.
   $ S$ = $\mathbf{\{8\}}$.

→ Pour réviser : Résoudre une équation contenant ln