Dériver une fonction contenant ln
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On utilise les deux formules suivantes :
- $ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} $ pour $ x > 0 $
- $ \bigl(\ln(u)\bigr)' = \dfrac{u'}{u} $ pour $ u $ dérivable et strictement positive sur l'intervalle d'étude
On combine ensuite avec les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, composée).
Pour une fonction quotient ou produit faisant intervenir $ \ln $, deux options :
- Dériver directement avec la formule du produit ou du quotient.
- Simplifier d'abord avec les propriétés algébriques de $ \ln $ (somme à la place d'un produit, différence à la place d'un quotient) : la dérivation est alors plus simple.
Dérivée d'une somme
Soit $ f(x) = 3x^{2} - 2\ln(x) $ pour $ x > 0 $.
Étape 1 : dériver chaque terme.
$ \bigl(3x^{2}\bigr)' = 6x $ et $ \bigl(2\ln(x)\bigr)' = \dfrac{2}{x} $
Étape 2 : conclure.
Dérivée de ln(u)
Soit $ g(x) = \ln(x^{2} + 1) $ définie sur $ \mathbb{R} $.
Étape 1 : vérifier que $ u $ est strictement positive.
On pose $ u(x) = x^{2} + 1 $. Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ u(x) \geqslant 1 > 0 $, donc $ g $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
Étape 2 : calculer $ u'(x) $.
$ u'(x) = 2x $
Étape 3 : appliquer la formule.
Produit avec ln
Soit $ h(x) = x \ln(x) $ pour $ x > 0 $.
Étape 1 : reconnaître un produit $ uv $ avec $ u(x) = x $ et $ v(x) = \ln(x) $.
$ u'(x) = 1 $ et $ v'(x) = \dfrac{1}{x} $
Étape 2 : appliquer la formule $ (uv)' = u'v + uv' $.
$ h'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} $
Étape 3 : simplifier.
Quotient simplifié avant dérivation
Soit $ f(x) = \ln\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) $ pour $ x > 1 $.
Étape 1 : simplifier l'expression avant de dériver.
Pour $ x > 1 $, on a $ x + 1 > 0 $ et $ x - 1 > 0 $, donc :
$ f(x) = \ln(x + 1) - \ln(x - 1) $
Étape 2 : dériver chaque terme.
$ \bigl(\ln(x + 1)\bigr)' = \dfrac{1}{x + 1} \qquad \bigl(\ln(x - 1)\bigr)' = \dfrac{1}{x - 1} $
Étape 3 : conclure.
$ f'(x) = \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 1} $
On peut réduire au même dénominateur :
Remarque
Avant d'écrire la dérivée de $ \ln(u) $, toujours vérifier que $ u $ est strictement positive sur l'intervalle considéré. Sinon, $ \ln(u) $ n'est pas définie et la formule ne s'applique pas.
Attention
Ne pas confondre $ \dfrac{u'}{u} $ avec $ \ln(u') $ ou $ \dfrac{1}{u} $. La dérivée de $ \ln(u(x)) $ est bien $ \dfrac{u'(x)}{u(x)} $, qui ressemble à un quotient logarithmique mais n'a aucun lien avec $ \ln $.