Calculer une probabilité avec la loi exponentielle
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Soit $ X $ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $ \lambda > 0 $ sur $ [0;+\infty[ $.
- Étape 1 : identifier le paramètre $ \lambda $ donné par l'énoncé (souvent en lien avec une espérance $ E(X) = \dfrac{1}{\lambda} $).
- Étape 2 : identifier le type de probabilité à calculer et appliquer la formule adaptée :
- Étape 3 : effectuer le calcul numérique avec la calculatrice et donner une valeur approchée à la précision demandée.
- Étape 4 : conclure en interprétant le résultat dans le contexte de l'énoncé.
Remarque
Ces formules se démontrent en intégrant la densité $ f(x) = \lambda\,\text{e}^{-\lambda x} $ : une primitive est $ F(x) = -\text{e}^{-\lambda x} $.
Probabilité de durée de vie d'un composant
La durée de vie (en années) d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire $ X $ qui suit la loi exponentielle de paramètre $ \lambda = 0{,}25 $.
a) Calculer la probabilité que le composant fonctionne pendant moins de $ 2 $ ans.
b) Calculer la probabilité qu'il fonctionne plus de $ 5 $ ans.
Étape 1 : le paramètre est $ \lambda = 0{,}25 $.
a) Étape 2 : on cherche $ p(X \leqslant 2) $.
a) Étape 3 :
a) Étape 4 : la probabilité que le composant tombe en panne avant $ 2 $ ans est environ $ 0{,}39 $.
b) Étape 2 : on cherche $ p(X \geqslant 5) $.
b) Étape 3 :
b) Étape 4 : la probabilité que le composant fonctionne plus de $ 5 $ ans est environ $ 0{,}29 $.
Probabilité sur un intervalle borné
La durée d'attente $ X $ (en minutes) au standard d'une entreprise suit une loi exponentielle d'espérance $ 4 $ minutes.
Calculer la probabilité d'attendre entre $ 2 $ et $ 6 $ minutes.
Étape 1 : $ E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 4 $, donc $ \lambda = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 $.
Étape 2 : on cherche $ p(2 \leqslant X \leqslant 6) $.
Étape 3 :
Étape 4 : la probabilité d'attendre entre $ 2 $ et $ 6 $ minutes est environ $ 0{,}38 $.
Remarque
La probabilité $ p(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{-\lambda a} $ est la fonction de répartition de la loi exponentielle. C'est une fonction croissante de $ a $, qui tend vers $ 1 $ quand $ a $ tend vers $ +\infty $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Confondre $ p(X \leqslant a) $ et $ p(X \geqslant a) $ : la première contient $ 1 - \dots $, la seconde non.
- Oublier le signe « moins » dans l'exposant $ -\lambda a $.
- Confondre le paramètre $ \lambda $ et l'espérance $ \dfrac{1}{\lambda} $ : si l'énoncé donne une durée moyenne, calculer $ \lambda = \dfrac{1}{\text{moyenne}} $.
- Donner une valeur exacte sous forme $ \text{e}^{-\lambda a} $ alors que l'énoncé demande une valeur approchée (ou inversement).