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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Deux lois exponentielles

On arrondira les probabilités à [latex]10^{-2}[/latex] près. Une entreprise informatique utilise des disques durs de type A dont la durée de vie [latex]T_1[/latex] (en heures) peut être modélisée par une loi exponentielle de paramètre [latex]\lambda_1[/latex] et des disques durs de type B dont la durée de vie [latex]T_2[/latex] (en heures) suit une loi exponentielle de paramètre [latex]\lambda_2[/latex].
  1. Sachant que la durée de vie moyenne d'un disque dur de type A est [latex]12\ 000[/latex] heures et que la durée de vie moyenne d'un disque dur de type B est [latex]18\ 000[/latex] heures, déterminer les valeurs de [latex]\lambda_1[/latex] et [latex]\lambda_2[/latex].
  2. On choisit au hasard un disque de type A. Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce disque soit supérieure à [latex]20\ 000[/latex] heures ? Même question pour un disque de type B.
  3. L'entreprise utilise [latex]40[/latex]% de disques durs de type A et [latex]60[/latex]% disques durs de type B. Quelle est la probabilité qu'un disque dur pris au hasard dans cette entreprise (sans savoir s'il s'agit d'un disque de type A ou B) ait une durée de vie supérieure à [latex]20\ 000[/latex] heures ?
  4. Un disque dur de cette entreprise a fonctionné plus de [latex]20\ 000[/latex] heures. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un disque de type A ?

Corrigé

  1. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire [latex]X[/latex] qui suit une loi exponentielle de paramètre [latex]\lambda[/latex] est [latex]E(X)=\frac{1}{\lambda }[/latex]
    [latex]T_1[/latex] suit une loi exponentielle de paramètre [latex]\lambda_1[/latex] donc : [latex]E(T_1)=\frac{1}{\lambda _1}=12\ 000[/latex] [latex]\lambda_1=\frac{1}{12\ 000}[/latex] De même : [latex]E(T_2)=\frac{1}{\lambda _2}=18\ 000[/latex] [latex]\lambda_2=\frac{1}{18\ 000}[/latex]
  2. Pour une loi exponentielle de paramètre [latex]\lambda[/latex] : [latex]p(X \geqslant k)=e^{-\lambda k}[/latex]
    La probabilité que la durée de vie d'un disque de type A soit supérieure à [latex]20\ 000[/latex] heures est : [latex]p(T_1 \geqslant 20\ 000)=e^{-20000\lambda_1}[/latex][latex]=e^{\frac{-20 000}{12 000}}=e^{-\frac{5}{3}} \approx 0,19 [/latex] à [latex]10^{-2}[/latex] près. De même, la probabilité que la durée de vie d'un disque de type B soit supérieure à [latex]20\ 000[/latex] heures est : [latex]p(T_2 \geqslant 20\ 000)=e^{-20000\lambda_2}[/latex][latex]=e^{\frac{-20 000}{18 000}}=e^{-\frac{10}{9}} \approx 0,33 [/latex] à [latex]10^{-2}[/latex] près.
  3. Notons
    • [latex]S[/latex] l’événement : "La durée de vie du disque est supérieure à [latex]20\ 000[/latex] heures".
    • [latex]A[/latex] l’événement : "Le disque dur est de type A".
    • [latex]B[/latex] l’événement : "Le disque dur est de type B".
    La situation peut être schématisée par l'arbre pondéré ci -dessous : D'après la formule des probabilités totales : [latex]p(S)=p_A(S)\times p(A) + p_B(S)\times p(B) [/latex] [latex]\phantom{p(S)} \approx 0,19\times 0,40 + 0,33\times 0,60 [/latex] [latex]\phantom{p(S)} \approx 0,27 [/latex] à [latex]10^{-2}[/latex] près.
  4. La probabilité cherchée est [latex]p_S(A)[/latex]. D'après la formule des probabilités conditionnelles : [latex]p_S(A)=\frac{p(A \cap S)}{p(S)}[/latex] [latex]p_S(A)\approx\frac{0,19\times 0,40}{0,27}[/latex] [latex]p_S(A)\approx 0,28[/latex] à [latex]10^{-2}[/latex] près.