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Lois à densité Exercices

Deux lois exponentielles

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

On arrondira les probabilités à $10^{-2}$ près. Une entreprise informatique utilise des disques durs de type A dont la durée de vie $T_1$ (en heures) peut être modélisée par une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1$ et des disques durs de type B dont la durée de vie $T_2$ (en heures) suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_2$.

  1. Sachant que la durée de vie moyenne d'un disque dur de type A est $12\ 000$ heures et que la durée de vie moyenne d'un disque dur de type B est $18\ 000$ heures, déterminer les valeurs de $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
  2. On choisit au hasard un disque de type A. Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce disque soit supérieure à $20\ 000$ heures ? Même question pour un disque de type B.
  3. L'entreprise utilise $40$% de disques durs de type A et $60$% disques durs de type B. Quelle est la probabilité qu'un disque dur pris au hasard dans cette entreprise (sans savoir s'il s'agit d'un disque de type A ou B) ait une durée de vie supérieure à $20\ 000$ heures ?
  4. Un disque dur de cette entreprise a fonctionné plus de $20\ 000$ heures. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un disque de type A ?

Corrigé

  1. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda }$ $T_1$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1$ donc : $E(T_1)=\dfrac{1}{\lambda _1}=12\ 000$ $\lambda_1=\dfrac{1}{12\ 000}$ De même : $E(T_2)=\dfrac{1}{\lambda _2}=18\ 000$ $\lambda_2=\dfrac{1}{18\ 000}$
  2. Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $p(X \geqslant k)=e^{-\lambda k}$ La probabilité que la durée de vie d'un disque de type A soit supérieure à $20\ 000$ heures est : $p(T_1 \geqslant 20\ 000)=e^{-20000\lambda_1}=e^{\frac{-20 000}{12 000}}=e^{-\frac{5}{3}} \approx 0{,}19 $ à $10^{-2}$ près. De même, la probabilité que la durée de vie d'un disque de type B soit supérieure à $20\ 000$ heures est : $p(T_2 \geqslant 20\ 000)=e^{-20000\lambda_2}=e^{\frac{-20 000}{18 000}}=e^{-\frac{10}{9}} \approx 0{,}33 $ à $10^{-2}$ près.

  3. Notons

    • $S$ l’événement : « La durée de vie du disque est supérieure à $20\ 000$ heures ».
    • $A$ l’événement : « Le disque dur est de type A ».
    • $B$ l’événement : « Le disque dur est de type B ».

    La situation peut être schématisée par l'arbre pondéré ci-dessous :

    D'après la formule des probabilités totales : $p(S)=p_A(S)\times p(A) + p_B(S)\times p(B) $ $\phantom{p(S)} \approx 0{,}19\times 0{,}40 + 0{,}33\times 0{,}60 $ $\phantom{p(S)} \approx 0{,}27 $ à $10^{-2}$ près.

  4. La probabilité cherchée est $p_S(A)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles : $p_S(A)=\dfrac{p(A \cap S)}{p(S)}$ $p_S(A)\approx\dfrac{0{,}19\times 0{,}40}{0{,}27}$ $p_S(A)\approx 0{,}28$ à $10^{-2}$ près.