Calculer la limite à l’infini d’une fonction polynôme
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Pour calculer la limite en $+\infty$ ou $-\infty$ d'une fonction polynôme :
- Étape 1 : repérer le terme de plus haut degré (le terme dominant).
- Étape 2 : factoriser l'expression par ce terme dominant.
- Étape 3 : étudier la limite du facteur entre parenthèses (qui tend vers $1$).
- Étape 4 : conclure par produit, en tenant compte du signe du coefficient.
Règle pratique : la limite à l'infini d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
Remarque
Une expression de la forme $\infty - \infty$ est une forme indéterminée : la limite ne se lit pas directement sur l'écriture, il faut d'abord transformer l'expression.
Polynôme de degré 2 en $+\infty$
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x^2 - 5x + 7\right)$.
Étape 1 : le terme dominant est $2x^2$.
Étape 2 : on factorise par $x^2$ :
$2x^2 - 5x + 7 = x^2 \left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{x^2}\right)$.
Étape 3 : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{7}{x^2} = 0$, donc :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{x^2}\right) = 2$.
Étape 4 : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et le facteur tend vers $2 > 0$, donc par produit :
Polynôme de degré 3 en $-\infty$
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-x^3 + 4x^2 - 1\right)$.
Étape 1 : le terme dominant est $-x^3$.
Étape 2 : on factorise par $x^3$ :
$-x^3 + 4x^2 - 1 = x^3 \left(-1 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^3}\right)$.
Étape 3 : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{4}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^3} = 0$, donc :
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-1 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^3}\right) = -1$.
Étape 4 : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et le facteur tend vers $-1 < 0$, donc par produit :
Remarque
Avec l'habitude, on peut écrire directement le résultat en lisant uniquement le terme dominant :
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x^2 - 5x + 7\right) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x^2 = +\infty$
- $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-x^3 + 4x^2 - 1\right) = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-x^3\right) = +\infty$
Attention
Ne jamais conclure « $+\infty - \infty = 0$ » : c'est une forme indéterminée. Sans factorisation préalable, la limite reste inconnue.
Bien tenir compte des signes du coefficient dominant et de la limite de $x^n$ : par exemple, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ alors que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$.