Limites de polynômes à l’infini

La méthode est toujours la même : on factorise par le terme de plus haut degré, puis on conclut par produit, le facteur entre parenthèses ayant pour limite $1$.

1. On factorise par $x^4$ :
   $3x^4 - 5x^3 + 2x - 7 = x^4 \left(3 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{2}{x^3} - \dfrac{7}{x^4}\right)$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^4 = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(3 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{2}{x^3} - \dfrac{7}{x^4}\right) = 3$.

   Par produit : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(3x^4 - 5x^3 + 2x - 7\right) = +\infty}$.

2. On factorise par $x^3$ :
   $-2x^3 + 4x^2 - 1 = x^3 \left(-2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^3}\right)$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^3}\right) = -2$.

   Par produit : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-2x^3 + 4x^2 - 1\right) = +\infty}$.

3. On factorise par $x^5$ :
   $-x^5 + x^2 + 100 = x^5 \left(-1 + \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{100}{x^5}\right)$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^5 = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-1 + \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{100}{x^5}\right) = -1$.

   Par produit : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-x^5 + x^2 + 100\right) = -\infty}$.

4. On factorise par $x^4$ :
   $x^4 - 6x^2 + 5 = x^4 \left(1 - \dfrac{6}{x^2} + \dfrac{5}{x^4}\right)$.

   Or $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^4 = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \dfrac{6}{x^2} + \dfrac{5}{x^4}\right) = 1$.

   Par produit : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^4 - 6x^2 + 5\right) = +\infty}$.

Pour réviser : Calculer la limite à l'infini d'une fonction polynôme