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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Décomposer un entier en produit de facteurs premiers

Méthode

  • Pour décomposer un entier naturel en produits de facteurs premiers, on essaie de le diviser par les nombres premiers en allant du plus petit au plus grand : 2, 3, 5, 7, 11, etc.

  • On présente souvent les calculs en deux colonnes : la colonne de droite contient les nombres premiers et la colonne de gauche, les quotients successifs.

  • Si pour un entier nn on n'a trouvé aucun diviseur premier inférieur ou égal à n \sqrt{ n } , on peut arrêter la recherche. Le nombre nn est alors premier ; son seul diviseur premier est alors nn lui-même.

Exemple détaillé

Décomposition de 4440 en produit de facteurs premiers :

  • Première étape :

    On trace un barre verticale pour former deux colonnes et on place le nombre à décomposer dans la colonne de gauche.

    Décomposition facteurs premiers - étape 0

  • Deuxième étape :

    On cherche si 4440 est divisible par 2. C'est le cas ici (4440 se termine par un chiffre pair).

    On inscrit donc le nombre 2 dans la colonne de droite et le quotient de 4440 par 2 (soit 2220) sous 4440 dans la colonne de gauche :

    Décomposition facteurs premiers - étape 1

  • Troisième étape :

    On recommence le procédé pour 2220 qui est divisible par 2 et donne 1110 comme quotient puis pour 1110 qui est aussi divisible par 2 et donne le quotient 555 :

    Décomposition facteurs premiers - étape 2

  • Quatrième étape :

    555 est impair donc n'est pas divisible par 2. On essaie alors de le diviser par le nombre premier qui suit 2 c'est à dire 3. 555 est divisible par 3 (la somme des chiffres vaut 15). Le quotient est égal à 185 :

    Décomposition facteurs premiers - étape 3

  • Cinquième étape :

    185 n'est pas divisible par 3 (1+8+5=14). Il est, par contre, divisible par 5 (le chiffre des unités est 5). Le quotient vaut alors 37 :

    Décomposition facteurs premiers - étape 4

  • Sixième étape :

    37 n'est pas divisible par 5. Comme 376,08 \sqrt{ 37 } \approx 6,08 , ce n'est pas la peine d'essayer de diviser par 7 (qui est supérieur à 6,08) ou par des nombres supérieurs. Par conséquent, 37 est un nombre premier et le dernier facteur premier est donc 37.

    Le quotient est alors 1 et le calcul est terminé :

    Décomposition facteurs premiers - étape finale

  • Conclusion : On obtient la décomposition suivante :

    4440=2×2×2×3×5×374440 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 37 =23×3×5×37 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 37