Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
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- Pour décomposer un entier naturel en produit de facteurs premiers, on essaie de le diviser par les nombres premiers en allant du plus petit au plus grand : 2, 3, 5, 7, 11, etc.
- On présente souvent les calculs en deux colonnes : la colonne de droite contient les nombres premiers et la colonne de gauche, les quotients successifs.
- Si pour un entier $ n $ on n'a trouvé aucun diviseur premier inférieur ou égal à $ \sqrt{ n } $, on peut arrêter la recherche. Le nombre $ n $ est alors premier ; son seul diviseur premier est alors $ n $ lui-même.
Décomposition de 4440 en produit de facteurs premiers :
Première étape :
On trace une barre verticale pour former deux colonnes et on place le nombre à décomposer dans la colonne de gauche.
Deuxième étape :
On cherche si 4440 est divisible par 2. C'est le cas ici (4440 se termine par un chiffre pair).
On inscrit donc le nombre 2 dans la colonne de droite et le quotient de 4440 par 2 (soit 2220) sous 4440 dans la colonne de gauche :
Troisième étape :
On recommence le procédé pour 2220 qui est divisible par 2 et donne 1110 comme quotient puis pour 1110 qui est aussi divisible par 2 et donne le quotient 555 :
Quatrième étape :
555 est impair donc n'est pas divisible par 2. On essaie alors de le diviser par le nombre premier qui suit 2 c'est à dire 3. 555 est divisible par 3 (la somme des chiffres vaut 15). Le quotient est égal à 185 :
Cinquième étape :
185 n'est pas divisible par 3 (1+8+5=14). Il est, par contre, divisible par 5 (le chiffre des unités est 5). Le quotient vaut alors 37 :
Sixième étape :
37 n'est pas divisible par 5. Comme $ \sqrt{ 37 } \approx 6,08 $ ce n'est pas la peine d'essayer de diviser par 7 (qui est supérieur à 6,08) ou par des nombres supérieurs. Par conséquent, 37 est un nombre premier et le dernier facteur premier est donc 37.
Le quotient est alors 1 et le calcul est terminé :
Conclusion : On obtient la décomposition suivante :
$ 4440 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 37 $$ = 2^3 \times 3 \times 5 \times 37 $