Calculer une probabilité avec la loi géométrique
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Une variable aléatoire $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p $ (avec $ 0 < p < 1 $) lorsqu'elle donne le rang du premier succès dans une répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli identiques de paramètre $ p $.
- Étape 1 : vérifier que la situation décrit bien la répétition d'une même épreuve de Bernoulli, indépendante et identique, jusqu'au premier succès. Identifier le paramètre $ p $.
Étape 2 : choisir la formule adaptée.
- $ p(X=k)=(1-p)^{k-1}\times p $ pour tout entier $ k\geqslant 1 $.
- $ p(X > k)=(1-p)^{k} $ (probabilité que les $ k $ premières épreuves soient des échecs).
- $ p(X\leqslant k)=1-(1-p)^{k} $.
- Espérance : $ E(X)=\dfrac{1}{p} $ (nombre moyen d'essais nécessaires pour obtenir le premier succès).
- Étape 3 : appliquer la formule, donner une valeur exacte ou un arrondi, puis interpréter.
Remarque
Pour $ p(X\geqslant k) $ : on a $ p(X\geqslant k)=p(X > k-1)=(1-p)^{k-1} $. Cela revient à dire que les $ k-1 $ premières épreuves ont toutes été des échecs.
Probabilité ponctuelle p(X=k)
On lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir un $ 6 $. Soit $ X $ le rang du lancer où apparaît le premier $ 6 $. Calculer la probabilité que le premier $ 6 $ apparaisse au $ 4 $-ième lancer.
Étape 1 : chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p=\dfrac{1}{6} $ ; les lancers sont indépendants et on s'arrête au premier succès. Donc $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=\dfrac{1}{6} $.
Étape 2 : application de la formule pour $ k=4 $ :
Étape 3 : calcul :
Il y a environ $ 9{,}6\,\% $ de chances d'obtenir le premier $ 6 $ exactement au $ 4 $-ième lancer.
Probabilité d'obtenir le premier succès tôt
On considère un test médical de dépistage qui détecte une maladie avec une probabilité $ p=0{,}4 $ chez les sujets atteints. Un sujet malade subit le test plusieurs fois (les tests sont indépendants). Soit $ X $ le rang du premier test positif. Calculer la probabilité que la maladie soit détectée au plus tard au $ 3 $-ième test.
Étape 1 : $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=0{,}4 $. On cherche $ p(X\leqslant 3) $.
Étape 2 : application de la formule :
Étape 3 : calcul :
Il y a environ $ 78{,}4\,\% $ de chances que la maladie soit détectée au plus tard au $ 3 $-ième test.
Espérance et nombre moyen d'essais
Dans le contexte de l'exemple précédent ($ p=0{,}4 $), combien de tests faut-il en moyenne pour détecter la maladie ?
Étape 1 : $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=0{,}4 $.
Étape 2 : application de la formule de l'espérance :
Étape 3 : calcul :
Il faut en moyenne $ 2{,}5 $ tests pour détecter la maladie.
Attention
Pièges fréquents :
- Oublier l'exposant $ k-1 $ : c'est $ (1-p)^{k-1} $, pas $ (1-p)^{k} $. Le $ k $-ième essai est un succès, donc seuls les $ k-1 $ premiers sont des échecs.
- Confondre $ p(X > k) $ et $ p(X\geqslant k) $ : $ p(X > k)=(1-p)^{k} $ tandis que $ p(X\geqslant k)=(1-p)^{k-1} $.
- Appliquer la loi géométrique alors que l'expérience est limitée à un nombre fixe d'essais : dans ce cas, c'est une loi binomiale, pas une loi géométrique.
- Inverser le rôle de $ p $ et $ 1-p $ : $ p $ est la probabilité de succès (et donc d'arrêt).