Loi géométrique : absence de mémoire
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Une machine produit en continu des pièces. Chaque pièce a une probabilité $ p=0{,}05 $ d'être défectueuse, indépendamment des autres. On note $ X $ le rang de la première pièce défectueuse fabriquée par la machine.
- Justifier que $ X $ suit une loi géométrique de paramètre $ 0{,}05 $.
- Déterminer $ p(X > 10) $. Interpréter ce résultat.
- Sachant que les $ 10 $ premières pièces produites sont conformes (non défectueuses), quelle est la probabilité d'attendre encore au moins $ 5 $ pièces avant la première défectueuse, c'est-à-dire $ p_{X > 10}(X > 15) $ ? Comparer avec $ p(X > 5) $ et conclure.
Corrigé
- Chaque pièce est une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p=0{,}05 $ (succès = pièce défectueuse). Les essais étant indépendants, $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ 0{,}05 $.
$ p(X > 10) $ correspond à la probabilité que les $ 10 $ premières pièces soient toutes conformes :
$ p(X > 10)=(1-0{,}05)^{10}=0{,}95^{10}\approx 0{,}599 $Il y a donc environ $ 59{,}9\% $ de chances que les $ 10 $ premières pièces soient toutes conformes.
Par définition d'une probabilité conditionnelle :
$ p_{X > 10}(X > 15)=\dfrac{p(X > 15 \text{ et } X > 10)}{p(X > 10)}=\dfrac{p(X > 15)}{p(X > 10)}=\dfrac{0{,}95^{15}}{0{,}95^{10}}=0{,}95^{5} $Or $ p(X > 5)=0{,}95^{5} $, donc :
$ p_{X > 10}(X > 15)=p(X > 5)\approx 0{,}774 $On retrouve la propriété d'absence de mémoire : la machine n'« apprend » rien de son passé. Quel que soit le nombre de pièces conformes déjà produites, la probabilité d'attendre encore au moins $ 5 $ pièces avant la première défectueuse est la même qu'au démarrage de la machine.
→ Pour réviser : Utiliser l'absence de mémoire de la loi géométrique