Loi géométrique : premier 6 au lancer d’un dé

Durée estimée

5 minutes

Difficulté

On lance un dé équilibré à six faces et on note $ X $ le numéro du lancer où apparaît le premier 6. On suppose les lancers indépendants.

Justifier que $ X $ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
Calculer la probabilité que le premier 6 apparaisse au cinquième lancer (arrondi à $ 10^{-3} $).
Calculer la probabilité que le premier 6 apparaisse avant le quatrième lancer, c'est-à-dire $ p(X\leqslant 3) $ (arrondi à $ 10^{-3} $).
Quel est, en moyenne, le numéro du lancer où apparaît le premier 6 ?

Corrigé

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p=\dfrac{1}{6} $ (succès = obtenir un 6). Les lancers étant indépendants, $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=\dfrac{1}{6} $.
$ p(X=5)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{625}{7776}\approx 0{,}080 $.
$ p(X\leqslant 3)=p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}+\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{91}{216}\approx 0{,}421 $.
L'espérance vaut $ E(X)=\dfrac{1}{p}=6 $ : il faut, en moyenne, $ 6 $ lancers pour obtenir un premier 6.

→ Pour réviser : Calculer une probabilité avec la loi géométrique