Calculer les coordonnées du point moyen d’un nuage
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Soit une série statistique à deux variables donnée par les couples $ (x_{1};y_{1}),\ (x_{2};y_{2}),\ \dots,\ (x_{n};y_{n}) $. Le point moyen $ G $ du nuage a pour coordonnées :
Pour calculer les coordonnées de $ G $ :
- Étape 1 : repérer les deux variables et compter le nombre $ n $ de couples observés.
- Étape 2 : calculer la moyenne $ \bar{x} $ des valeurs de la première variable.
- Étape 3 : calculer la moyenne $ \bar{y} $ des valeurs de la seconde variable.
- Étape 4 : conclure en donnant $ G(\bar{x}\,;\bar{y}) $.
Remarque
Le point moyen $ G $ joue un rôle central : la droite des moindres carrés passe toujours par $ G $. Le calculer dès le début d'un exercice permet souvent de vérifier l'équation de la droite obtenue ensuite à la calculatrice.
Calcul direct sur une série courte
On relève sur $ 5 $ jours la durée $ x $ (en heures) d'ouverture d'un magasin et son chiffre d'affaires $ y $ (en milliers d'euros) :
- $ (8\,;1{,}6) $, $ (9\,;2{,}1) $, $ (10\,;2{,}7) $, $ (11\,;3{,}0) $, $ (12\,;3{,}6) $
Calculer les coordonnées du point moyen $ G $ du nuage.
Étape 1 : on a $ n=5 $ couples $ (x_{i};y_{i}) $.
Étape 2 : calcul de $ \bar{x} $ :
Étape 3 : calcul de $ \bar{y} $ :
Étape 4 : le point moyen est $ G(10\,;\,2{,}6) $.
Données présentées dans un tableau
Le tableau ci-dessous donne, pour $ 6 $ entreprises, le nombre $ x $ d'employés (en dizaines) et le bénéfice annuel $ y $ (en milliers d'euros).
| $ x_{i} $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 7 $ | $ 8 $ | $ 10 $ |
| $ y_{i} $ | $ 12 $ | $ 18 $ | $ 25 $ | $ 32 $ | $ 38 $ | $ 47 $ |
Déterminer le point moyen $ G $.
Étape 1 : il y a $ n=6 $ couples.
Étape 2 :
Étape 3 :
Étape 4 : le point moyen du nuage est $ G(6\,;\,28{,}67) $ (valeur arrondie au centième).
Vérification à la calculatrice
Pour des séries longues, on saisit les valeurs en mode statistique deux variables.
- Casio : touche MENU, rubrique STAT, saisir $ x_{i} $ dans la liste $ L_{1} $ et $ y_{i} $ dans la liste $ L_{2} $, puis CALC $ \to $ 2-VAR.
- TI : touche stat, Edit, saisir les listes, puis stat $ \to $ CALC $ \to $ 2-Var Stats.
La calculatrice affiche directement $ \bar{x} $ et $ \bar{y} $. On lit alors $ G(\bar{x}\,;\bar{y}) $.
Attention
Pièges fréquents :
- Calculer la moyenne d'un seul des deux caractères et oublier l'autre.
- Diviser par le nombre de valeurs distinctes au lieu du nombre $ n $ de couples (notamment lorsque certaines valeurs $ x_{i} $ se répètent).
- Confondre point moyen et médiane : le point moyen utilise les moyennes, pas les valeurs centrales.