Calculer des longueurs dans une homothétie
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Créer un compteLorsqu'on connaît le rapport $k$ d'une homothétie et certaines longueurs, on peut calculer les longueurs manquantes grâce à la propriété fondamentale : les longueurs sont multipliées par $|k|$.
Méthode
Pour calculer une longueur dans une homothétie de rapport $k$ :
- Étape 1 : identifier le rapport $k$ et les longueurs connues.
- Étape 2 : appliquer la relation entre les longueurs :
Si on cherche la longueur originale :
Maquette d'un bâtiment
Un architecte réalise une maquette d'un immeuble à l'échelle $\dfrac{1}{50}$, ce qui correspond à une homothétie de rapport $k = \dfrac{1}{50}$.
La façade de l'immeuble réel mesure 15 m de large et 30 m de haut. Calculer les dimensions de la façade sur la maquette.
Étape 1 : le rapport est $k = \dfrac{1}{50}$, donc $|k| = \dfrac{1}{50} = 0{,}02$.
Étape 2 : on calcule les longueurs sur la maquette.
Largeur de la maquette :
Hauteur de la maquette :
La façade de la maquette mesure 30 cm de large et 60 cm de haut.
Photo agrandie
On agrandit une photographie avec un rapport $k = 3$. Sur la photo originale, un arbre mesure 4 cm de haut et une maison mesure 2{,}5 cm de large. Calculer les dimensions sur la photo agrandie.
Étape 1 : le rapport est $k = 3$, donc $|k| = 3$.
Étape 2 : on multiplie chaque longueur par $|k| = 3$.
Hauteur de l'arbre sur la photo agrandie :
Largeur de la maison sur la photo agrandie :
Remarque
Dans une homothétie, toutes les longueurs de la figure sont multipliées par le même facteur $|k|$. Cela s'applique aux côtés, aux diagonales, aux périmètres, aux rayons de cercles, etc.
En particulier, le périmètre de la figure image est aussi multiplié par $|k|$ :
Attention
Ne pas confondre le coefficient multiplicateur des longueurs ($|k|$) avec celui des aires ($k^2$). Si on double les longueurs ($k = 2$), l'aire est multipliée par $4$, pas par $2$.