Transformations et homothéties
Exercices
Rapport et longueurs d’un triangle par homothétie
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Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $O$.
On sait que $OA = 3$ cm, $OA' = 7{,}5$ cm, $AB = 4$ cm et le périmètre du triangle $ABC$ est 12 cm.
Les points $A$ et $A'$ sont de part et d'autre de $O$.
- Déterminer le rapport $k$ de l'homothétie.
- S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Justifier.
- Calculer la longueur $A'B'$.
- Calculer le périmètre du triangle $A'B'C'$.
Corrigé
On calcule le rapport des distances au centre :
$k = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$Comme $A$ et $A'$ sont de part et d'autre de $O$, le rapport est négatif : $\mathbf{k = -2{,}5}$.
- On calcule $|k| = 2{,}5$. Comme $2{,}5 > 1$, il s'agit d'un agrandissement de facteur $2{,}5$.
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 2{,}5$, donc :
$A'B' = |k| \times AB = 2{,}5 \times 4 = $ 10 cmLe périmètre est aussi multiplié par $|k|$, car il est une somme de longueurs :
$\text{périmètre de } A'B'C' = |k| \times \text{périmètre de } ABC = 2{,}5 \times 12 = $ 30 cm
Pour réviser : Déterminer le rapport d'une homothétie