Calculer une intégrale
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- Étape 1 : Déterminer une primitive $ F $ de $ f $ sur $ [a\,;b] $ (la constante $ k $ est inutile ici : on choisit $ k = 0 $).
Étape 2 : Appliquer la formule :
$ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $- Étape 3 : Calculer $ F(b) $ et $ F(a) $ séparément, puis effectuer la soustraction.
Intégrale d'un polynôme
Calculer $ I = \int_{1}^{3} (2x^2 - x + 1)\,\text{d}x $.
Étape 1 : On détermine une primitive de $ f(x) = 2x^2 - x + 1 $ :
$ F(x) = \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + x $
Étape 2 : On applique la notation crochet :
$ I = \left[\dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + x\right]_{1}^{3} $
Étape 3 : On calcule :
$ F(3) = \dfrac{2 \times 27}{3} - \dfrac{9}{2} + 3 = 18 - \dfrac{9}{2} + 3 = \dfrac{33}{2} $
$ F(1) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{7}{6} $
donc :
Intégrale avec exponentielle
Calculer $ J = \int_{0}^{1} 3e^{3x}\,\text{d}x $.
Étape 1 : On reconnaît la forme $ u'e^u $ avec $ u(x) = 3x $ et $ u'(x) = 3 $.
Une primitive est $ F(x) = e^{3x} $.
Étape 2 : On applique :
$ J = \left[e^{3x}\right]_{0}^{1} = e^3 - e^0 $ = $\mathbf{e^3 - 1}$
Utilisation de la relation de Chasles
On sait que $ \int_{0}^{5} f(x)\,\text{d}x = 7 $ et $ \int_{0}^{2} f(x)\,\text{d}x = 3 $. Calculer $ \int_{2}^{5} f(x)\,\text{d}x $.
La relation de Chasles donne :
$ \int_{0}^{5} f(x)\,\text{d}x = \int_{0}^{2} f(x)\,\text{d}x + \int_{2}^{5} f(x)\,\text{d}x $
donc :
$ \int_{2}^{5} f(x)\,\text{d}x = 7 - 3 $ = $\mathbf{4}$
Remarque
- L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie : ajouter une constante $ k $ ne change rien car elle s'annule dans la soustraction $ F(b) - F(a) $.
- Inverser les bornes change le signe : $ \int_{b}^{a} f(x)\,\text{d}x = -\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $.
Attention
Ne pas oublier le signe $ - $ dans la soustraction $ F(b) - F(a) $. Une erreur fréquente est de calculer $ F(b) + F(a) $ ou de se tromper dans l'ordre des bornes.