Calculer l’image ou l’antécédent par une fonction affine
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Créer un compte1 - Calculer l'image d'un nombre
Méthode
Pour calculer l'image d'un nombre $x_0$ par la fonction affine $f : x \longmapsto ax + b$, on remplace $x$ par $x_0$ dans l'expression $ax + b$.
Calculer une image
On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x) = -3x + 5$.
Calculer l'image de $4$ par la fonction $f$.
On remplace $x$ par $4$ dans l'expression de $f(x)$ :
$f(4) = -3 \times 4 + 5$
$f(4) = -12 + 5$
$f(4) = -7$
L'image de $4$ par la fonction $f$ est $-7$.
Calculer une image avec un nombre négatif
On considère la fonction affine $g$ définie par $g(x) = 2x - 1$.
Calculer $g(-3)$.
On remplace $x$ par $-3$ :
$g(-3) = 2 \times (-3) - 1$
$g(-3) = -6 - 1$
$g(-3) = -7$
L'image de $-3$ par la fonction $g$ est $-7$.
Attention
Quand on remplace $x$ par un nombre négatif, il faut penser à mettre des parenthèses : on écrit $f(\color{red}{-3}\color{black}) = 2 \times \color{red}{(-3)}\color{black} - 1$ et non $2 \times -3 - 1$.
2 - Calculer un antécédent
Méthode
Pour trouver l'antécédent d'un nombre $k$ par la fonction affine $f : x \longmapsto ax + b$, on résout l'équation $ax + b = k$.
Chercher un antécédent
On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x) = 5x + 4$.
Déterminer l'antécédent de $-11$ par la fonction $f$.
On cherche $x$ tel que $f(x) = -11$, c'est-à-dire :
$5x + 4 = -11$
$5x = -11 - 4$
$5x = -15$
$x = \dfrac{-15}{5}$
$x = -3$
L'antécédent de $-11$ par la fonction $f$ est $-3$.
Vérification : $f(-3) = 5 \times (-3) + 4 = -15 + 4 = -11$.
Chercher un antécédent (coefficient fractionnaire)
On considère la fonction affine $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$.
Quel nombre a pour image $0$ par la fonction $h$ ?
On résout $h(x) = 0$ :
$\dfrac{1}{2}x + 3 = 0$
$\dfrac{1}{2}x = -3$
$x = -3 \times 2$
$x = -6$
Le nombre $-6$ a pour image $0$ par la fonction $h$.
Remarque
Chercher l'antécédent d'un nombre par une fonction affine revient toujours à résoudre une équation du premier degré. Une fonction affine non constante ($a \neq 0$) admet exactement un antécédent pour chaque nombre.