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Fonctions affines Exercices

Rectangle inscrit dans un triangle

Durée estimée
25 minutes
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Objectifs travaillés

On considère un triangle $ ABC $ rectangle en $ B $ tel que $ AB = 6 $ cm et $ BC = 8 $ cm.
On place un point $ M $ sur le segment $ [AB] $ tel que $ BM = x $, avec $ 0 < x < 6 $.
On construit le rectangle $ BMNP $ tel que $ N $ soit sur le segment $ [BC] $ et $ P $ sur le segment $ [AC] $.

Triangle ABC rectangle en B avec le rectangle BMNP inscrit
  1. Justifier que la droite $ (MP) $ est parallèle à la droite $ (BC) $.
  2. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle $ ABC $, montrer que $ BN = 8 - \dfrac{4x}{3} $.
  3. En déduire que le périmètre du rectangle $ BMNP $ est donné par :
    $ P(x) = 16 - \dfrac{2x}{3} $
  4. La fonction $ P $ est-elle affine ? Préciser son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
  5. La fonction $ P $ est-elle croissante ou décroissante ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  6. Représenter graphiquement la fonction $ P $ pour $ x \in [0\,;\,6] $.
  7. Déterminer par le calcul la valeur de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle vaut 14 cm.

Corrigé

  1. Le rectangle $ BMNP $ a ses côtés $ [BM] $ et $ [NP] $ perpendiculaires à ses côtés $ [BN] $ et $ [MP] $.
    Comme $ [BM] $ est sur la droite $ (AB) $ et $ [BN] $ est sur la droite $ (BC) $, et que l'angle $ \widehat{ABC} $ est droit, les côtés $ [MP] $ et $ [BN] $ sont parallèles (tous deux perpendiculaires à $ (AB) $).
    Donc $\mathbf{(MP) \parallel (BC)}$.
  2. Dans le triangle $ ABC $, les points $ M $ et $ P $ sont respectivement sur $ [AB] $ et $ [AC] $, et $ (MP) \parallel (BC) $.
    D'après le théorème de Thalès :
    $ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MP}{BC} $
    Or $ AM = AB - BM = 6 - x $, donc :
    $ \dfrac{6 - x}{6} = \dfrac{MP}{8} $
    $ MP = \dfrac{8(6 - x)}{6} = \dfrac{4(6 - x)}{3} = 8 - \dfrac{4x}{3} $
    Comme $ BMNP $ est un rectangle, $ BN = MP $, donc :
    $\mathbf{BN = 8 - \dfrac{4x}{3}}$
  3. Le périmètre du rectangle $ BMNP $ est :
    $ P(x) = 2(BM + BN) = 2\left(x + 8 - \dfrac{4x}{3}\right) $
    $ P(x) = 2\left(\dfrac{3x}{3} + \dfrac{24 - 4x}{3}\right) = 2 \times \dfrac{24 - x}{3} $
    $\mathbf{P(x) = 16 - \dfrac{2x}{3}}$
  4. La fonction $ P $ est de la forme $ P(x) = ax + b $ avec $ a = -\dfrac{2}{3} $ et $ b = 16 $.
    C'est donc une fonction affine de coefficient directeur $ -\dfrac{2}{3} $ et d'ordonnée à l'origine $ 16 $.
  5. Le coefficient directeur est $ a = -\dfrac{2}{3} < 0 $, donc la fonction $ P $ est strictement décroissante.
    Cela signifie que plus le point $ M $ s'éloigne de $ B $ (c'est-à-dire plus $ x $ augmente), plus le périmètre du rectangle diminue.

  6. Pour tracer la droite, on calcule deux points :
    $ P(0) = 16 $ et $ P(6) = 16 - \dfrac{12}{3} = 16 - 4 = 12 $.
    La droite passe par les points $ (0\,;\,16) $ et $ (6\,;\,12) $.

    Représentation graphique de la fonction P(x) = 16 - 2x/3
    Représentation graphique de $ P(x) = 16 - \dfrac{2x}{3} $ pour $ x \in [0\,;\,6] $
  7. On résout l'équation $ P(x) = 14 $ :
    $ 16 - \dfrac{2x}{3} = 14 $
    $ -\dfrac{2x}{3} = 14 - 16 $
    $ -\dfrac{2x}{3} = -2 $
    $ 2x = 6 $
    $ x = 3 $
    Vérification : pour $ x = 3 $ : $ BM = 3 $ cm et $ BN = 8 - \dfrac{4 \times 3}{3} = 8 - 4 = 4 $ cm.
    Périmètre : $ 2(3 + 4) = 14 $ cm, ce qui est bien le résultat attendu.
    Le périmètre du rectangle vaut 14 cm lorsque $ x = 3 $ cm.