Calculer une aire après un agrandissement ou une réduction
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Créer un compteLors d'une homothétie, les aires ne sont pas multipliées par $k$ mais par $k^2$. Cette distinction est essentielle pour ne pas se tromper dans les calculs.
Rappel
Pour une homothétie de rapport $k$ :
- les longueurs sont multipliées par $|k|$ ;
- les aires sont multipliées par $k^2$.
Méthode
Pour calculer l'aire d'une figure après une homothétie de rapport $k$ :
- Étape 1 : identifier le rapport $k$ de l'homothétie.
- Étape 2 : calculer le coefficient d'agrandissement des aires : $k^2$.
- Étape 3 : appliquer la formule :
Aire après un agrandissement
Un triangle a une aire de 12 cm². On lui applique une homothétie de rapport $k = 3$. Calculer l'aire du triangle image.
Étape 1 : le rapport est $k = 3$.
Étape 2 : on calcule le coefficient des aires.
Étape 3 : on calcule l'aire de l'image.
L'aire du triangle image est 108 cm².
Remarque
Les longueurs sont multipliées par 3, mais l'aire est multipliée par $3^2 = 9$, ce qui est bien plus important.
Retrouver le rapport à partir des aires
Un carré a une aire de 16 cm². Son image par une homothétie a une aire de 100 cm². Déterminer le rapport $k$ de l'homothétie.
On sait que l'aire est multipliée par $k^2$, donc :
Pour trouver $|k|$, on prend la racine carrée :
Le rapport de l'homothétie est $k = 2{,}5$ (ou $k = -2{,}5$ si la figure est retournée).
Vérification : le côté du carré d'origine est $\sqrt{16} = 4$ cm, et celui de l'image est $4 \times 2{,}5 = 10$ cm, d'où une aire de $10^2 = 100$ cm².
Attention
L'erreur la plus fréquente est de multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$.
Par exemple, si $k = 2$ : les longueurs sont multipliées par 2, mais l'aire est multipliée par $2^2 = 4$, pas par 2.