Le nombre dérivé d'une fonction en un point d'abscisse $x_0$ est utilisé pour mesurer les variations d'une fonction autour de ce point. Il est étroitement lié au taux d'accroissement de la fonction et représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

Lorsque $h$ tend vers 0, la droite sécante $S$ devient la tangente $T$ à la courbe $C$ au point $(x_0, f(x_0))$. Le coefficient directeur de cette tangente est ce que l'on appelle le nombre dérivé de la fonction en $x_0$.

Le nombre dérivé de la fonction $f$ au point $x_0$, noté $f^{\prime}(x_0)$, est défini par la limite suivante, si elle existe :

Cette limite est ce que l'on nomme la dérivée de $f$ en $x_0$.

On notera que  :

• Si le nombre dérivé est positif, la tangente est ascendante. Cela indique également que la courbe de la fonction est ascendante autour de ce point.

• Si le nombre dérivé est négatif, cela signifie que la tangente à la courbe est descendante, et donc la courbe elle-même est descendante autour de ce point.

Exemple :

Considérons la fonction $f(x) = x^2$. Nous allons calculer le nombre dérivé de cette fonction en $x_0 = 2$.

$f^{\prime}(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}$

$\phantom{f^{\prime}(2)} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h}$

$\phantom{f^{\prime}(2)} = \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h}$

$\phantom{f^{\prime}(2)} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h}$

$\phantom{f^{\prime}(2)} = \lim_{h \to 0} (4 + h)$

$\phantom{f^{\prime}(2)} = 4.$

Le nombre dérivé de $f$ en $x_0 = 2$ est donc 4, ce qui signifie que la pente de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ en ce point est 4.