Le théorème des gendarmes, aussi connu sous le nom de théorème d'encadrement, permet de démontrer la convergence d'une suite en l'encadrant entre deux autres suites qui convergent vers la même limite. Voici comment on peut le formuler :

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que pour tout $n \in \mathbb{N}$ à partir d'un certain rang,

Si les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$, alors la suite $(u_n)$ converge également vers $l$.

Exemple

Considérons les suites suivantes où $n$ est strictement positif :

• $v_n = 0$,

• $u_n = \frac{\sin(n)}{n} + \frac{1}{n}$,

• $w_n = \frac{2}{n}$.

On peut difficilement déterminer la limite de la suite $(u_n)$ sans utiliser le théorème des gendarmes car la suite $\sin(n)$ n'est pas convergente.

On sait que pour tout entier naturel $n$,

En ajoutant $1$ à chaque membre de cette inégalité, on obtient :

En divisant ensuite par $n$ qui est strictement positif, on a :

Les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent toutes deux vers $0$ et encadrent la suite $u_n$. Par application du théorème des gendarmes, on conclut que :

Ce théorème est particulièrement utile pour déterminer la limite de suites difficiles à évaluer directement, mais qui peuvent être encadrées par deux autres suites aux comportements limites connus.

• Les suites $v_n$ et $w_n$ doivent converger vers la même limite $l$.

• L'encadrement $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ doit être valide pour tout $n$ à partir d'un certain rang.