Une fonction $f$ est une relation entre deux ensembles, où à chaque élément $x$ d'un ensemble $A$, on fait correspondre un unique élément $y$ d'un ensemble $B$.
Formellement, on écrit
$f : A \rightarrow B$
$\quad x \longmapsto f(x)$.

Dans la suite, nous nous concentrerons sur les fonctions numériques réelles, qui sont des cas spécifiques de fonctions où $A$ et $B$ sont des sous-ensembles de $\mathbb{R}$, l'ensemble des nombres réels.

Une fonction numérique réelle est donc une fonction où, à chaque élément $x$ de l'ensemble $A \subset \mathbb{R}$, est associé un unique élément $y$ de $B \subset \mathbb{R}$.

Au sein d'une fonction, on distingue les éléments suivants :

• Domaine ou ensemble de définition
  L'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini est appelé le domaine ou l'ensemble de définition de la fonction $f$ et est souvent noté $\mathscr{D}_f$.

• Variable
  C'est l'élément $x$ qui prend ses valeurs dans l'ensemble $\mathscr{D}_f$.

• Image
  L'image d'un élément $x$ par la fonction $f$, notée $f(x)$, est l'élément $y$ qui a été associé à $x$ (souvent par calcul).

• Antécédent
  Un antécédent d'un élément $y$ est un élément $x$ dans $\mathscr{D}_f$ tel que $f(x) = y$. Les antécédents ne sont pas forcément uniques.

Exemple

Considérons la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$.

Voici un tableau représentant quelques valeurs de $x$ et leurs images par $f$:

La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$ lorsque $x$ parcourt l'ensemble de définition.