L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f(x)$ est bien définie, c'est-à-dire que le calcul de $f(x)$ est valide mathématiquement.

Voici quelques exemples fréquemment rencontrés :

1. Fonction polynomiale

Considérons la fonction $f(x) = x^3 - 2x + 5$.

Cette fonction est un polynôme, et les polynômes sont définis pour toutes les valeurs réelles de $x$ car il n'y a pas de restriction opérationnelle telle qu'une division par zéro ou une racine carrée d'un nombre négatif. Ainsi, l'ensemble de définition de $f$ est l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$.

2. Fonction racine carrée

Prenons la fonction $g(x) = \sqrt{x - 3}$.

La racine carrée n'est définie que pour des valeurs positives ou nulles. Par conséquent, $x - 3$ doit être supérieur ou égal à zéro. Ainsi, $x \geqslant 3$, et l'ensemble de définition de $g$ est l'intervalle $[3, +\infty[$.

3. Fonction rationnelle

Examinons la fonction $h(x) = \frac{2x}{x^2 - 1}$.

Cette fonction n'est pas définie lorsque le dénominateur est égal à zéro. On résout donc l'équation $x^2 - 1 = 0$, ce qui donne comme solutions $x = \pm 1$. L'ensemble de définition de $h$ est donc l'ensemble des nombres réels sauf $\pm 1$, noté $\mathbb{R} \setminus \{ - 1, 1\}$.

4. Fonction logarithmique (niveau Terminale)

Considérons la fonction $k(x) = \ln(x + 2)$. Le logarithme népérien est défini uniquement pour des valeurs strictement positives. Ainsi, $x + 2 > 0$, ce qui implique que $x > - 2$. L'ensemble de définition de $k$ est donc l'intervalle $] - 2, +\infty[$.