Intuitivement, une droite est une ligne infinie qui ne possède ni courbure, ni épaisseur. Elle est définie par deux points distincts et s'étend indéfiniment dans les deux directions. Une droite peut être j'ai finie par une équation dans un plan cartésien.

Notations et Représentation

• Une droite est généralement notée avec une lettre minuscule (par exemple, $d$) ou par les lettres représentant deux points distincts par lesquels elle passe placées entre parenthèses, par exemple $(AB)$.

• Sur un graphique, une droite est tracée comme une ligne sans fin, bien que, sur le dessin, elle soit limitée à la taille du papier ou de l'écran.

Équation réduite d'une droite

• L'équation d'une droite est une égalité que vérifient les coordonnées des points de la droite et seulement ceux-ci. Dans un repère cartésien (plan $xy$), l'équation d'une droite peut être donnée sous différentes formes.

• L'une des formes les plus courantes est l'équation réduite $y = mx + p$. Dans cette équation, $m$ représente la pente de la droite et $p$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées ($y$). Toutefois, les droites parallèles à l'axe des ordonnées (verticales) n'admettent pas d'équation réduite de cette forme.

• Coefficient directeur ou Pente ($m$) : Le coefficient directeur de la droite mesure l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses ($x$). Elle est calculée comme le rapport de la variation des ordonnées ($y$) à la variation des abscisses ($x$) entre deux points de la droite : $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ou $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

  Une pente positive indique que la droite monte, une pente négative indique qu'elle descend, une pente nulle indique une droite horizontale.

• Ordonnée à l'origine ($p$) : C'est le point où la droite croise l'axe des ordonnées ($y$). Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on peut remplacer $x$ par $0$ dans l'équation de la droite.

Sur le graphique ci-dessus, $m= \frac{ \Delta y }{ \Delta x} = \frac{ 2 }{ 1} = 2$ et$p=1$.

équation cartésienne d'une droite

• L'équation générale de la droite est $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des constantes. Cette forme est utile pour inclure toutes les droites, y compris les droites verticales qui ne peuvent pas être représentées par la forme réduite.

• En réarrangeant cette équation, on peut la transformer en forme réduite, sauf pour les droites verticales où $b = 0$. Par exemple, $2x - y + 3 = 0$ peut être réarrangée en $y = 2x + 3$.

Interprétation géométrique

• Chaque point $(x, y)$ qui satisfait l'équation d'une droite appartient à cette droite. Par exemple, si nous avons l'équation $y = 2x + 1$, le point $A(2, 5)$ appartient à la droite car lorsqu'on remplace $x$ par 2 dans l'équation, on obtient $y = 2 \times 2 + 1 = 5$.

• Les points qui ne satisfont pas l'équation n'appartiennent pas à la droite. Par exemple, le point $B(1, 4)$ ne satisfait pas l'équation $y = 2x + 1$ car $2 \times 1 + 1 = 3$ et non $4$.

Exemple

• Recherchons d'équation de la droite passant par les points $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$.

• La pente de la droite passant par ces points est $m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.

• Pour trouver l'ordonnée à l'origine, utilisons l'un des points, par exemple $A(1, 2)$. L'équation de la droite est $y = 2x + p$. En remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $2$, nous obtenons $2 = 2 \times 1 + p$ donc $p = 0$.

• L'équation de la droite est donc $y = 2x$.