Un diviseur d'un nombre entier naturel $n$ est un entier $d$ qui divise $n$ sans laisser de reste, c'est-à-dire que le quotient de la division de $n$ par $d$ est également un entier. Dire que $d$ est un diviseur de $n$ est équivalent à dire que $n$ est un multiple de $d$.

Exemple

Prenons l'exemple de $n = 12$ :

- $6$ est un diviseur de $12$ car $12 = 6 \times 2$, où $2$ est un entier (c'est également un diviseur de $12$).

- Inversement, $12$ est un multiple de $6$.

Le théorème fondamental de l'arithmétique (qui dit que tout entier naturel peut se décomposer de manière unique en produit de facteurs premiers) nous aide à trouver tous les diviseurs d'un nombre en utilisant sa décomposition en facteurs premiers.

Selon ce théorème, chaque nombre entier $n > 1$ peut être exprimé de manière unique comme un produit de nombres premiers élevés à certaines puissances.

Exemple

Considérons $n = 180$.
Sa décomposition en produit de facteurs premiers est $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.

Pour trouver tous les diviseurs de $180$, on prend toutes les combinaisons possibles des puissances des facteurs premiers :

• Les puissances de $2$ dans les diviseurs peuvent être $2^0$, $2^1$, ou $2^2$.

• Les puissances de $3$ dans les diviseurs peuvent être $3^0$, $3^1$, ou $3^2$.

• Les puissances de $5$ dans les diviseurs peuvent être $5^0$ ou $5^1$.

En multipliant toutes les combinaisons de ces puissances, on obtient les diviseurs de $180$ :

$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $9$, $10$, $12$, $15$, $18$, $20$, $30$, $36$, $45$, $60$, $90$, $180$.