Le raisonnement par disjonction de cas est une méthode de preuve utilisée qui sert à démontrer une affirmation en divisant la situation en plusieurs cas distincts et en montrant que l'affirmation est vraie dans chaque cas. Cette approche est particulièrement utile lorsque différents scénarios possibles doivent être considérés séparément.

Exemple

Supposons que nous voulons prouver que pour tout nombre entier $n$, le carré de $n$ (c'est-à-dire $n^2$) laisse un reste de 0 ou 1 lorsqu'il est divisé par 4.

Pour ce faire, nous utilisons la disjonction de cas sur le reste de la division de $n$ par 4.

Un nombre entier $n$ peut laisser un reste de 0, 1, 2 ou 3 lorsqu'il est divisé par 4. Nous examinons chacun de ces cas :

1. Cas où le reste est 0 :

   Si $n$ laisse un reste égal à 0 lorsqu'il est divisé par 4, alors $n$ peut s'écrire comme $n = 4k$ pour un certain entier $k$. Ainsi, $n^2 = (4k)^2 = 16k^2$, qui est clairement divisible par 4.

   Le reste de la division de $n^2$ par 4 est donc 0.

2. Cas où le reste est 1 :

   Si $n$ laisse un reste de 1, alors $n = 4k + 1$ pour un entier $k$. Calculons $n^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1$. En divisant ce résultat par 4, le reste provient uniquement du terme 1, car $16k^2$ et $8k$ sont tous deux divisibles par 4. Ainsi, le reste est 1.

3. Cas où le reste est 2 :

   Si $n = 4k + 2$, alors $n^2 = (4k + 2)^2 = 16k^2 + 16k + 4 = 4(4k^2 + 4k + 1)$.
   $n^2$ est divisible par 4 donc le reste est 0.

4. Cas où le reste est 3 :

   Si $n = 4k + 3$, alors $n^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$.
   Le terme $4(4k^2 + 6k + 2)$ est divisible par 4, donc le reste de la division de $n^2$ par 4 est 1.

En couvrant tous les cas possibles et en démontrant que dans chaque cas, le carré de $n$ laisse un reste de 0 ou 1 lorsqu'il est divisé par 4, nous avons prouvé notre affirmation initiale par disjonction de cas. Ce type de raisonnement est très utile pour gérer des problèmes où différentes situations doivent être traitées séparément pour arriver à une conclusion générale.