Pour un polynôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, et $c$ sont des coefficients réels et $a \neq 0$, le discriminant est donné par la formule :

Ce nombre, appelé discriminant, est noté par la lettre grecque $\Delta$ (Delta).

Le discriminant sert à déterminer le nombre et le type des racines de l'équation du second degré :

• Discriminant positif ($\Delta > 0$) :

  L'équation a deux racines réelles distinctes. Cela signifie que la parabole d'équation $y = ax^2+bx+c$ coupe l'axe des $x$ en deux points distincts.
  La formule pour trouver ces racines est :

  $x_1 = \frac{ - b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{ - b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

  
  

• Discriminant nul ($\Delta = 0$) :

  L'équation a une unique racine réelle $x_0= - \frac{b}{2a}$ . La parabole touche l'axe des $x$ en un seul point.

• Discriminant négatif ($\Delta < 0$) : L'équation n'a pas de racines réelles. Cela signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des $x$.

Exemple

Considérons l'équation $2x^2 - 4x - 6 = 0$. Les coefficients sont $a = 2$, $b = - 4$, et $c = - 6$. Calculons le discriminant :

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes. Les racines sont donc :