Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue avec une ou plusieurs de ses dérivées. Ces équations permettent de modéliser la dynamique et le changement dans les systèmes physiques, biologiques, économiques, et bien d'autres domaines scientifiques.

L'ordre d'une équation différentielle est déterminé par la dérivée d'ordre le plus élevé présente dans l'équation. Par exemple :

est une équation différentielle du second ordre.

Une équation différentielle peut généralement avoir une infinité de solutions, chacune différenciée par des constantes arbitraires. Pour spécifier une solution unique, on utilise une condition initiale, qui est une valeur connue de la fonction pour une valeur spécifique de la variable. Cette condition détermine les constantes, réduisant ainsi l'ensemble des solutions à une solution unique.

Exemples

Voici trois exemples d'équations différentielles du premier ordre :

1. Équations différentielles linéaires homogènes :

   $y^{\prime} = ay$

   Cette équation modélise des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle, où $a$ est une constante. La solution de cette équation est donnée par :

   $y = C e^{ax}$

   où $C$ est une constante qui peut être déterminée par une condition initiale.

2. Équations différentielles linéaires non homogènes :

   $y^{\prime} = ay + b$

   Ici, $b$ est une constante ajoutée à l'équation homogène, modélisant une source ou un puits constant dans le système. La solution générale de cette équation est :

   $y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$

   où $C$ est une constante déterminée par les conditions initiales et $- \frac{b}{a}$ est la solution particulière qui équilibre le terme constant.

3. Équations différentielles linéaires avec une fonction non constante :

   $y^{\prime} = ay + f(x)$

   Pour ce type d'équation, on doit souvent trouver d'abord une solution particulière, puis la solution générale.

   1. Trouver une solution particulière : On cherche une solution spécifique à l'équation $y^{\prime} = ay + f(x)$ qui ne nécessite pas nécessairement d'englober toutes les solutions possibles. Une méthode courante pour trouver une solution particulière est la méthode de variation des constantes ou, si $f(x)$ a une forme spéciale, la méthode des coefficients indéterminés.

   2. Trouver la solution générale : La solution générale de l'équation différentielle non homogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène associée et de la solution particulière. Pour l'équation homogène $y^{\prime} = ay$, la solution est $y_h = Ce^{ax}$. Ainsi, la solution générale de $y^{\prime} = ay + f(x)$ devient :

      $y = y_h + y_p = Ce^{ax} + y_p$

      où $y_p$ est la solution particulière trouvée précédemment.